当 a < b 时，证明：e^a(b-a) < e^b - e^a < e^b(b-a)。

考虑函数 $f(x) = e^x$，由拉格朗日中值定理，存在 $c \in (a, b)$ 使得
$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \Rightarrow e^c = \frac{e^b - e^a}{b - a}.$
由于 $a < c < b$，且 $e^x$ 单调递增，故 $e^a < e^c < e^b$，即
$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b.$
两边同乘 $b - a$（正数），得
$e^a(b - a) < e^b - e^a < e^b(b - a).$
或者，利用积分表示 $e^b - e^a = \int_a^b e^x \, dx$，由 $e^x$ 的单调性，有
$e^a(b - a) < \int_a^b e^x \, dx < e^b(b - a),$
同样得出结论。

答案：
$\boxed{e^a(b - a) < e^b - e^a < e^b(b - a)}$