[题目]-|||-设-|||-f(x)= { ,xneq 0 0,x=0 .-|||-讨论(1)-|||-f(x)-|||-在-|||-x=0-|||-处的连续性和可导性;-|||-(2)导函数-|||-f`(x)-|||-在-|||-x=0-|||-处的连续性。

题目考察知识

本题主要考察函数的连续性、可导性及导函数的连续性，涉及分段函数在分段点的分析，需用到极限定义、导数定义及函数连续性的判定条件。

（1）$f(x)$在$x=0$处的连续性和可导性

连续性判定

函数在某点连续的充要条件是：$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。

• 当$x \neq 0$时，$f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}$。由于$\sin\frac{1}{x}$是有界函数（$|\sin\frac{1}{x}| \leq 1$），$x^2$是无穷小量，根据“有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量”，得：
  $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\frac{1}{x} = 0$
• 又$f(0) = 0$，故$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，$f(x)$在$x=0$处连续。

可导性判定

函数在某点可导的充要条件是：导数定义极限存在，即$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$存在。

• 计算极限：
  $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0} x \sin\frac{1}{x}$
• 同理，$\sin\frac{1}{x}$有界，$x$是无穷小量，故：
  $\lim_{x \to 0} x \sin\frac{1}{x} = 0$
• 极限存在，$f(x)$在$x=0$处可导，且$f'(0) = 0$。

（2）导函数$f'(x)$在$x=0$处的连续性

导函数表达式

需先求$f'(x)$在$x \neq 0$和$x=0$处的表达式：

• 当$x \neq 0$时，用乘积法则求导：
  $f'(x) = (x^2)'\sin\frac{1}{x} + x^2 \left(\sin\frac{1}{x}\right)' = 2x \sin\frac{1}{x} + x^2 \cos\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$
• 当$x=0$时，已求得$f'(0) = 0$。

$f'(x)$在$x=0$处的连续性判定

导函数连续的充要条件是：$\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0)$。

• 分析$\lim_{x \to 0} f'(x)$：
  $\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} \left(2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}\right)$

  • $2x \sin\frac{1}{x}$：仍为“有界函数×无穷小量”，极限为$0$；
  • $\cos\frac{1}{x}$：当$x \to 0$时，$\frac{1}{x} \to \infty$，$\cos\frac{1}{x}$在$[-1,1]$内震荡，极限不存在。

• 因此$\lim_{x \to 0} f'(x)$不存在，$f'(x)$在$x=0$处不连续。