2.验证极限lim _(xarrow 0)dfrac ({x)^2sin dfrac (1)(x)}(sin x)存在,但不能用洛必达法则得出.

步骤 1：化简极限表达式
首先，我们观察到当$x\rightarrow 0$时，$\sin x$和$x$都是等价无穷小，即$\sin x \sim x$。因此，我们可以将原极限表达式中的$\sin x$替换为$x$，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}}{\sin x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}}{x}$$
步骤 2：进一步化简
接下来，我们继续化简上式，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}}{x} = \lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}$$
步骤 3：利用有界性证明极限存在
我们知道，$\sin \dfrac {1}{x}$的值域为$[-1,1]$，即$|\sin \dfrac {1}{x}|\leqslant 1$。因此，$x\sin \dfrac {1}{x}$的值域为$[-x,x]$。当$x\rightarrow 0$时，$x\rightarrow 0$，所以$x\sin \dfrac {1}{x}\rightarrow 0$。因此，原极限存在且等于0。
步骤 4：证明不能使用洛必达法则
我们尝试使用洛必达法则求解原极限。首先，我们对分子和分母分别求导，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}}{\sin x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x\sin \dfrac {1}{x} - {x}^{2}\cos \dfrac {1}{x} \cdot \dfrac {1}{{x}^{2}}}{\cos x}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x\sin \dfrac {1}{x} - \cos \dfrac {1}{x}}{\cos x}$$
由于$\cos \dfrac {1}{x}$在$x\rightarrow 0$时没有极限，因此原极限不能使用洛必达法则求解。