题目
求函数=dfrac ({e)^x-(e)^-x}(2)的反函数
求函数
的反函数
题目解答
答案
∴
∵
∴
∴
∴
解析
步骤 1：确定原函数的定义域和值域
原函数$y=\dfrac {{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$的定义域为$R$，值域为$R$，因为$e^x$和$e^{-x}$都是正数，且随着$x$的增大，$e^x$的增长速度远大于$e^{-x}$的减小速度，所以$y$可以取到任意实数值。
步骤 2：求解$x$关于$y$的表达式
原函数$y=\dfrac {{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，可以写成$2y=e^x-e^{-x}$，即$e^{2x}-2ye^x-1=0$。这是一个关于$e^x$的二次方程，解这个方程得到$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$（因为$e^x>0$，所以只取正根）。
步骤 3：求解$x$的表达式
由$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$，取对数得到$x=\ln(y+\sqrt{y^2+1})$。
步骤 4：确定反函数
将$x$和$y$互换，得到反函数$y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$，定义域为$R$。
原函数$y=\dfrac {{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$的定义域为$R$，值域为$R$，因为$e^x$和$e^{-x}$都是正数，且随着$x$的增大，$e^x$的增长速度远大于$e^{-x}$的减小速度，所以$y$可以取到任意实数值。
步骤 2：求解$x$关于$y$的表达式
原函数$y=\dfrac {{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，可以写成$2y=e^x-e^{-x}$，即$e^{2x}-2ye^x-1=0$。这是一个关于$e^x$的二次方程，解这个方程得到$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$（因为$e^x>0$，所以只取正根）。
步骤 3：求解$x$的表达式
由$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$，取对数得到$x=\ln(y+\sqrt{y^2+1})$。
步骤 4：确定反函数
将$x$和$y$互换，得到反函数$y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$，定义域为$R$。