题目
4、填空 函数f(x,y)=1-x^2-4y^2在闭区域D=(x,y)|x^2+y^2leqslant 1上的最大值为____.
4、填空 函数$f(x,y)=1-x^{2}-4y^{2}$在闭区域$D=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leqslant 1\}$上的最大值为____.
题目解答
答案
1. **求内部临界点**：
计算偏导数 $ f_x = -2x $，$ f_y = -8y $，令其为零得 $ x = 0 $，$ y = 0 $。
代入函数得 $ f(0,0) = 1 $。
2. **分析边界值**：
边界 $ x^2 + y^2 = 1 $，令 $ x = \cos\theta $，$ y = \sin\theta $，则
\[
f(\cos\theta, \sin\theta) = 1 - \cos^2\theta - 4\sin^2\theta = 3\cos^2\theta - 3 \leq 0.
\]
最大值为 $ 0 $（当 $ \cos^2\theta = 1 $ 时）。
3. **比较得结论**：
内部最大值 $ 1 $ 大于边界最大值 $ 0 $，故函数最大值为 $ 1 $。
**答案**：$\boxed{1}$