填空题（共10题，40.0分）19. (4.0分) int_(1)^eln tdt=_____第1空fbox(请输入答案)

为了计算定积分 $\int_{1}^{e} \ln t \, dt$，我们可以使用分部积分法。分部积分法的公式是： \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 在这个问题中，我们可以设 $u = \ln t$ 和 $dv = dt$。那么，$du = \frac{1}{t} \, dt$ 和 $v = t$。将这些代入分部积分法的公式，我们得到： \[ \int_{1}^{e} \ln t \, dt = \left[ t \ln t \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} t \cdot \frac{1}{t} \, dt \] 简化右边的表达式，我们有： \[ \int_{1}^{e} \ln t \, dt = \left[ t \ln t \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 \, dt \] 第一个项 $\left[ t \ln t \right]_{1}^{e}$ 的值是： \[ \left[ t \ln t \right]_{1}^{e} = e \ln e - 1 \ln 1 = e \cdot 1 - 1 \cdot 0 = e \] 第二个项 $\int_{1}^{e} 1 \, dt$ 的值是： \[ \int_{1}^{e} 1 \, dt = \left[ t \right]_{1}^{e} = e - 1 \] 将这些值代回表达式，我们得到： \[ \int_{1}^{e} \ln t \, dt = e - (e - 1) = e - e + 1 = 1 \] 因此，定积分 $\int_{1}^{e} \ln t \, dt$ 的值是 $\boxed{1}$。