微分方程xy'+y-e^x=0满足初始条件y|_(x=1)=0特解是A. y=xln xB. y=x(e^x-e)C. y=(1)/(x)ln xD. y=(1)/(x)(e^x-e)

本题考查一阶线性微分方程的求解，解题思路是先将给定的微分方程化为一阶线性微分方程的标准形式，然后利用一阶线性微分方程的通解公式求出通解，最后将初始条件代入通解求出特解。

步骤一：将原方程化为一阶线性微分方程的标准形式

已知微分方程$xy'+y - e^x = 0$，将其变形为$y'+\frac{1}{x}y=\frac{e^x}{x}$。
此时方程为一阶线性微分方程的标准形式$y'+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)=\frac{1}{x}$，$Q(x)=\frac{e^x}{x}$。

步骤二：求一阶线性微分方程的通解

根据一阶线性微分方程的通解公式$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$，先计算$e^{\int P(x)dx}$和$e^{-\int P(x)dx}$：

• 计算$\int P(x)dx$：
  $\int P(x)dx=\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|$
• 计算$e^{\int P(x)dx}$：
  $e^{\int P(x)dx}=e^{\ln|x|}=x$
• 计算$e^{-\int P(x)dx}$：
  $e^{-\int P(x)dx}=e^{-\ln|x|}=\frac{1}{x}$

将$e^{\int P(x)dx}=x$，$e^{-\int P(x)dx}=\frac{1}{x}$，$Q(x)=\frac{e^x}{x}$代入通解公式可得：
$\begin{align*}y&=\frac{1}{x}(\int\frac{e^x}{x}\cdot xdx+C)\\&=\frac{1}{x}(\int e^xdx+C)\\&=\frac{1}{x}(e^x+C)\end{align*}$

步骤三：求特解

已知初始条件$y|_{x = 1} = 0$，将$x = 1$，$y = 0$代入通解$y=\frac{1}{x}(e^x+C)$中，可得：
$0=\frac{1}{1}(e^1+C)$
即$e + C = 0$，解得$C = -e$。

将$C = -e$代入通解$y=\frac{1}{x}(e^x+C)$中，得到特解为$y=\frac{1}{x}(e^x - e)$。