曲线积分 int_(L) (cos x^3 - y)dx + (x - sin y^3)dy = ___，其中 L 是圆周 x^2 + y^2 = 2y，取逆时针方向。A. -2piB. 0C. (3)/(2)piD. 2pi

本题考查曲线积分的计算，解题思路是利用格林公式将曲线积分转化为二重积分进行计算。

1. 首先明确格林公式：设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，函数 $P(x,y)$，$Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有 $\oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy$，其中 $L$ 是 $D$ 的正向边界。
2. 对于本题，已知 $P(x,y) = \cos x^3 - y$，$Q(x,y) = x - \sin y^3$，计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$：
   • $\frac{\partial Q}{\partial x} = 1$；
   • $\frac{\partial P}{\partial y} = -1$。
3. 则 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$。
4. 由格林公式可得 $\oint_{L} (\cos x^3 - y)dx + (x - \sin y^3)dy = \iint_{D} 2dxdy$，其中 $D$ 是由圆周 $x^2 + y^2 = 2y$ 所围成的区域。
5. 而 $\iint_{D} 2dxdy = 2\iint_{D} dxdy$，$\(\iint_{D} dxdy$ 表示区域 $D$ 的面积。
6. 对于圆周 $x^2 + y^2 = 2y$ 可化为 $x^2 + (y - 1)^2 = 1$，其圆心为 $(0,1)$，半径为 $1$，则区域 $D$ 的面积为 $\(\pi$ $\times$ $1^2$) = $\pi$。
7. 所以 $2\iint_{D} dxdy = 2\times\pi = 2\pi$。