求：int dfrac (arctan sqrt {x)}(sqrt {x)(1+x)}dx

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及变量替换法和分部积分法的应用，重点在于通过合理的换元简化积分表达式。

解题核心思路：

1. 观察积分结构，发现分母中的$\sqrt{x}(1+x)$与分子中的$\arctan \sqrt{x}$存在关联，考虑令$t = \sqrt{x}$进行变量替换。
2. 通过换元将原积分转化为关于$t$的简单积分形式，利用基本积分公式直接求解。
3. 关键点在于正确处理换元后的微分关系，并识别出积分$\int \frac{\arctan t}{1+t^2} dt$的标准形式。

变量替换：
令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2t \, dt$。代入原积分：
$\begin{aligned}\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} dx &= \int \frac{\arctan t}{t(1+t^2)} \cdot 2t \, dt \\&= 2 \int \frac{\arctan t}{1+t^2} dt.\end{aligned}$

换元积分：
令$u = \arctan t$，则$du = \frac{1}{1+t^2} dt$，积分变为：
$2 \int u \, du = 2 \cdot \frac{1}{2} u^2 + C = u^2 + C.$

回代变量：
将$u = \arctan t$和$t = \sqrt{x}$代回，得：
$(\arctan \sqrt{x})^2 + C.$