3.求下列不定积分.-|||-(15) int (tan )^10x(sec )^2xdx

考查要点：本题主要考查换元积分法的应用，特别是利用导数关系进行变量替换的能力。

解题核心思路：观察到积分中同时出现$\tan x$和$\sec^2 x$，而$\sec^2 x$恰好是$\tan x$的导数，因此可以将$\tan x$设为中间变量$u$，将原积分转化为关于$u$的简单幂函数积分。

破题关键点：

1. 识别导数关系：$\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$，从而将$\sec^2 x \, dx$视为$d(\tan x)$。
2. 变量替换：令$u = \tan x$，则$du = \sec^2 x \, dx$，简化积分表达式。

步骤1：变量替换
令$u = \tan x$，则$du = \sec^2 x \, dx$。此时，原积分中的$\sec^2 x \, dx$可直接替换为$du$，而$\tan^{10}x$替换为$u^{10}$。

步骤2：积分化简
原积分变为：
$\int u^{10} \, du$

步骤3：计算积分
对$u^{10}$积分：
$\int u^{10} \, du = \frac{u^{11}}{11} + C$

步骤4：回代变量
将$u = \tan x$代回，得到最终结果：
$\frac{\tan^{11}x}{11} + C$