3.极限 lim _(xarrow 0)(dfrac (1+x)(tan x)-dfrac (1)(x))=

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及分式运算、泰勒展开或等价无穷小替换的应用，以及洛必达法则的使用。

解题核心思路：
将原式合并为一个分式后，通过泰勒展开或洛必达法则展开分子和分母的高阶项，消去低阶无穷小，从而求得极限值。关键在于正确展开$\tan x$的泰勒多项式，并处理分子中的高阶小项。

破题关键点：

1. 合并分式，将原式转化为分子为多项式与$\tan x$的差，分母为$x \tan x$的形式。
2. 展开$\tan x$的泰勒多项式至足够高阶，以抵消分子中的低阶项。
3. 化简分式，保留主要项并忽略高阶无穷小，最终求得极限。

步骤1：合并分式
原式可写为：
$\lim_{x \to 0} \left( \dfrac{1+x}{\tan x} - \dfrac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x)x - \tan x}{x \tan x}.$

步骤2：展开$\tan x$的泰勒多项式
$\tan x$在$x=0$处的泰勒展开为：
$\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \cdots.$

步骤3：代入分子并化简
分子部分：
$(1+x)x - \tan x = x + x^2 - \left( x + \dfrac{x^3}{3} + \cdots \right) = x^2 - \dfrac{x^3}{3} + \cdots.$

分母部分：
$x \tan x = x \left( x + \dfrac{x^3}{3} + \cdots \right) = x^2 + \dfrac{x^4}{3} + \cdots.$

步骤4：化简分式
将分子和分母代入分式：
$\dfrac{x^2 - \dfrac{x^3}{3} + \cdots}{x^2 + \dfrac{x^4}{3} + \cdots} = \dfrac{1 - \dfrac{x}{3} + \cdots}{1 + \dfrac{x^2}{3} + \cdots} \approx \left( 1 - \dfrac{x}{3} \right) \left( 1 - \dfrac{x^2}{3} \right) \approx 1 - \dfrac{x}{3} + \cdots.$

步骤5：取极限
当$x \to 0$时，高阶项趋近于0，故极限为：
$\lim_{x \to 0} \left( 1 - \dfrac{x}{3} \right) = 1.$