【例8】已知平面区域D=((x,y)|y-2≤x≤sqrt(4-y^2),0≤y≤2).计算I=iint((x-y)^2)/(x^2)+y^(2)dxdy.

为了计算积分 $ I = \iint_D \frac{(x-y)^2}{x^2 + y^2} \, dx \, dy $ 其中区域 $ D = \{(x,y) \mid y-2 \leq x \leq \sqrt{4-y^2}, 0 \leq y \leq 2\} $，我们首先需要理解区域 $ D $ 的形状。区域 $ D $ 由直线 $ x = y-2 $ 和上半圆 $ x^2 + y^2 = 4 $（其中 $ y \geq 0 $）所界定，且 $ y $ 的范围从 0 到 2。 我们可以将区域 $ D $ 转换为极坐标。在极坐标中，$ x = r \cos \theta $ 和 $ y = r \sin \theta $。上半圆 $ x^2 + y^2 = 4 $ 变为 $ r = 2 $，直线 $ x = y-2 $ 变为 $ r \cos \theta = r \sin \theta - 2 $ 或 $ r(\sin \theta - \cos \theta) = 2 $ 或 $ r = \frac{2}{\sin \theta - \cos \theta} $。 $ \theta $ 的范围由直线 $ x = y-2 $ 与正 $ y $-轴的交点和圆与正 $ y $-轴的交点决定。直线 $ x = y-2 $ 在 $ y = 2 $ 时与 $ y $-轴相交，圆在 $ y = 2 $ 时与 $ y $-轴相交。在 $ \theta = \frac{\pi}{2} $ 时，$ r = 2 $ 和 $ r = \frac{2}{\sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2}} = 2 $。直线 $ x = y-2 $ 与 $ x $-轴在 $ x = -2 $ 处相交，这对应于 $ \theta = \frac{3\pi}{4} $。 因此，$ \theta $ 的范围从 $ \frac{\pi}{2} $ 到 $ \frac{3\pi}{4} $。对于每个 $ \theta $ 在这个范围内，$ r $ 的范围从 $ \frac{2}{\sin \theta - \cos \theta} $ 到 2。 在极坐标中，积分变为： \[ I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \int_{\frac{2}{\sin \theta - \cos \theta}}^2 \frac{(r \cos \theta - r \sin \theta)^2}{r^2} \, r \, dr \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \int_{\frac{2}{\sin \theta - \cos \theta}}^2 \frac{r^2 (\cos \theta - \sin \theta)^2}{r^2} \, r \, dr \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \int_{\frac{2}{\sin \theta - \cos \theta}}^2 (\cos \theta - \sin \theta)^2 \, r \, dr \, d\theta. \] 我们可以简化被积函数： \[ (\cos \theta - \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta - 2 \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta = 1 - \sin 2\theta. \] 因此，积分变为： \[ I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \int_{\frac{2}{\sin \theta - \cos \theta}}^2 (1 - \sin 2\theta) \, r \, dr \, d\theta. \] 我们首先对 $ r $ 进行积分： \[ \int_{\frac{2}{\sin \theta - \cos \theta}}^2 (1 - \sin 2\theta) \, r \, dr = \left[ \frac{1}{2} (1 - \sin 2\theta) r^2 \right]_{\frac{2}{\sin \theta - \cos \theta}}^2 = \frac{1}{2} (1 - \sin 2\theta) \left( 2^2 - \left( \frac{2}{\sin \theta - \cos \theta} \right)^2 \right) = \frac{1}{2} (1 - \sin 2\theta) \left( 4 - \frac{4}{1 - \sin 2\theta} \right) = \frac{1}{2} (1 - \sin 2\theta) \cdot \frac{4 (1 - \sin 2\theta) - 4}{1 - \sin 2\theta} = \frac{1}{2} (1 - \sin 2\theta) \cdot \frac{-4 \sin 2\theta}{1 - \sin 2\theta} = -2 \sin 2\theta. \] 因此，积分变为： \[ I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} -2 \sin 2\theta \, d\theta = -2 \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin 2\theta \, d\theta. \] 我们对 $ \theta $ 进行积分： \[ -2 \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin 2\theta \, d\theta = -2 \left[ -\frac{1}{2} \cos 2\theta \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} = \left[ \cos 2\theta \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} = \cos \frac{3\pi}{2} - \cos \pi = 0 - (-1) = 1. \] 因此，积分的值为： \[ \boxed{1}. \]