题目
设随机变量X与Y互相独立，且X服从区间[0,2].上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，则E(XY)=（）.A. (1)/(3)B. 1C. 3D. (4)/(3)
设随机变量X与Y互相独立，且X服从区间[0,2].上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，则E(XY)=（）.
A. $\frac{1}{3}$
B. 1
C. 3
D. $\frac{4}{3}$
题目解答
答案
B. 1
解析
步骤 1：利用随机变量独立性
由于随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，我们有： \[ E(XY) = E(X)E(Y) \] 这是因为独立随机变量的乘积的期望等于它们各自期望的乘积。
步骤 2：计算 $E(X)$
$X$ 服从区间 $[0, 2]$ 上的均匀分布。均匀分布的期望值由区间的中点给出。因此， \[ E(X) = \frac{0 + 2}{2} = 1 \]
步骤 3：计算 $E(Y)$
$Y$ 服从参数为1的指数分布。参数为 $\lambda$ 的指数分布的期望值是 $\frac{1}{\lambda}$。由于 $\lambda = 1$， \[ E(Y) = \frac{1}{1} = 1 \]
步骤 4：计算 $E(XY)$
现在，我们可以找到 $E(XY)$： \[ E(XY) = E(X)E(Y) = 1 \cdot 1 = 1 \]
由于随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，我们有： \[ E(XY) = E(X)E(Y) \] 这是因为独立随机变量的乘积的期望等于它们各自期望的乘积。
步骤 2：计算 $E(X)$
$X$ 服从区间 $[0, 2]$ 上的均匀分布。均匀分布的期望值由区间的中点给出。因此， \[ E(X) = \frac{0 + 2}{2} = 1 \]
步骤 3：计算 $E(Y)$
$Y$ 服从参数为1的指数分布。参数为 $\lambda$ 的指数分布的期望值是 $\frac{1}{\lambda}$。由于 $\lambda = 1$， \[ E(Y) = \frac{1}{1} = 1 \]
步骤 4：计算 $E(XY)$
现在，我们可以找到 $E(XY)$： \[ E(XY) = E(X)E(Y) = 1 \cdot 1 = 1 \]