题目
计算下列积分：(int )_(0)^sqrt (2)sqrt (2-{x)^2}dx.
计算下列积分：
.
题目解答
答案
第二换元法，令
，定积分的换元既要换积分变量又要换积分上下限，则
.
解析
步骤 1：确定积分类型
这是一个定积分问题，需要计算从0到$\sqrt{2}$的积分，被积函数为$\sqrt{2-x^2}$。
步骤 2：使用第二换元法
令$x=\sqrt{2}\sin t$，则$dx=\sqrt{2}\cos t dt$。当$x=0$时，$t=0$；当$x=\sqrt{2}$时，$t=\dfrac{\pi}{2}$。因此，原积分变为：
${\int }_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{2-x^2}dx={\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sqrt{2-(\sqrt{2}\sin t)^2}d(\sqrt{2}\sin t)$。
步骤 3：简化积分表达式
${\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sqrt{2-(\sqrt{2}\sin t)^2}d(\sqrt{2}\sin t)={\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sqrt{2-2\sin^2 t}\sqrt{2}\cos t dt$。
由于$\sqrt{2-2\sin^2 t}=\sqrt{2}\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{2}\cos t$，所以原积分变为：
${\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}2\cos^2 t dt$。
步骤 4：使用三角恒等式
利用$\cos^2 t=\dfrac{1+\cos 2t}{2}$，原积分变为：
${\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}2\cos^2 t dt={\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}(1+\cos 2t)dt$。
步骤 5：计算积分
${\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}(1+\cos 2t)dt=(t+\dfrac{1}{2}\sin 2t){|}_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}$。
代入上下限，得到：
$(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}\sin \pi)-(0+\dfrac{1}{2}\sin 0)=\dfrac{\pi}{2}$。
这是一个定积分问题，需要计算从0到$\sqrt{2}$的积分，被积函数为$\sqrt{2-x^2}$。
步骤 2：使用第二换元法
令$x=\sqrt{2}\sin t$，则$dx=\sqrt{2}\cos t dt$。当$x=0$时，$t=0$；当$x=\sqrt{2}$时，$t=\dfrac{\pi}{2}$。因此，原积分变为：
${\int }_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{2-x^2}dx={\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sqrt{2-(\sqrt{2}\sin t)^2}d(\sqrt{2}\sin t)$。
步骤 3：简化积分表达式
${\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sqrt{2-(\sqrt{2}\sin t)^2}d(\sqrt{2}\sin t)={\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\sqrt{2-2\sin^2 t}\sqrt{2}\cos t dt$。
由于$\sqrt{2-2\sin^2 t}=\sqrt{2}\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{2}\cos t$，所以原积分变为：
${\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}2\cos^2 t dt$。
步骤 4：使用三角恒等式
利用$\cos^2 t=\dfrac{1+\cos 2t}{2}$，原积分变为：
${\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}2\cos^2 t dt={\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}(1+\cos 2t)dt$。
步骤 5：计算积分
${\int }_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}(1+\cos 2t)dt=(t+\dfrac{1}{2}\sin 2t){|}_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}$。
代入上下限，得到：
$(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}\sin \pi)-(0+\dfrac{1}{2}\sin 0)=\dfrac{\pi}{2}$。