题目
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-(x;y)= ) (e)^-y,0lt xlt y 0, .-|||-求边 缘 概率密度.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查二维随机变量边缘概率密度的计算方法，需要掌握积分区域的确定和对某一变量的积分操作。
解题核心思路：
- 边缘概率密度的定义：对联合概率密度函数在某一变量上积分，得到另一个变量的边缘密度。
- 积分区域分析：根据原联合密度函数的定义域（$0 < x < y$），确定对$x$或$y$积分时的上下限。
- 积分计算：正确执行定积分运算，注意指数函数的积分结果。
破题关键点：
- 确定积分变量：求$f_X(x)$时对$y$积分，求$f_Y(y)$时对$x$积分。
- 积分上下限：$f_X(x)$中$y$从$x$到$+\infty$，$f_Y(y)$中$x$从$0$到$y$。
求$f_X(x)$（关于$X$的边缘密度）
- 积分变量：对$y$积分，积分区间为$y > x$（即$y$从$x$到$+\infty$）。
- 积分计算：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \int_{x}^{+\infty} e^{-y} \, dy = \left[ -e^{-y} \right]_{x}^{+\infty} = e^{-x} \quad (x > 0)$ - 结果：当$x \leq 0$时，$f_X(x) = 0$。
求$f_Y(y)$（关于$Y$的边缘密度）
- 积分变量：对$x$积分，积分区间为$x < y$（即$x$从$0$到$y$）。
- 积分计算：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx = \int_{0}^{y} e^{-y} \, dx = e^{-y} \cdot y \quad (y > 0)$ - 结果：当$y \leq 0$时，$f_Y(y) = 0$。