题目
1.12 设y=y(x)是由方程e^x-e^y=sin(xy)所确定的隐函数,则微分dy=（）bigcirc(e^x+ycos xy)/(e^y)-xcos xydxbigcirc(e^x-ycos xy)/(e^y)+xcos xydxbigcirc(e^x-xcos xy)/(e^y)+ycos xydxbigcirc(e^x-ysin xy)/(e^y)+xsin xydx
1.12 设y=y(x)是由方程$e^{x}-e^{y}=\sin(xy)$所确定的隐函数,则微分dy=（）
$\bigcirc\frac{e^{x}+y\cos xy}{e^{y}-x\cos xy}dx$
$\bigcirc\frac{e^{x}-y\cos xy}{e^{y}+x\cos xy}dx$
$\bigcirc\frac{e^{x}-x\cos xy}{e^{y}+y\cos xy}dx$
$\bigcirc\frac{e^{x}-y\sin xy}{e^{y}+x\sin xy}dx$
题目解答
答案
对等式 $e^x - e^y = \sin(xy)$ 两边对 $x$ 求导，得：
\[ e^x - e^y \frac{dy}{dx} = \cos(xy) \cdot (y + x \frac{dy}{dx}) \]
整理得：
\[ e^x - y \cos(xy) = (e^y + x \cos(xy)) \frac{dy}{dx} \]
解得：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{e^x - y \cos(xy)}{e^y + x \cos(xy)} \]
因此，微分 $dy$ 为：
\[ dy = \frac{e^x - y \cos(xy)}{e^y + x \cos(xy)} \, dx \]
答案：$\boxed{B}$
解析
考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，涉及对含有多个变量的复合函数求导，需熟练掌握链式法则和乘积法则。
解题核心思路：
- 对等式两边同时关于$x$求导，注意将$y$视为$x$的函数，使用链式法则处理含$y$的项。
- 整理方程，将所有含$\frac{dy}{dx}$的项移到等式一侧，其他项移到另一侧。
- 解方程求$\frac{dy}{dx}$，最终得到$\frac{dy}{dx}$的表达式，再写成微分形式$dy = \frac{dy}{dx}dx$。
破题关键点：
- 正确应用乘积法则处理$\sin(xy)$的导数。
- 准确处理符号，尤其注意移项时的正负号。
对等式$e^x - e^y = \sin(xy)$两边关于$x$求导：
左边求导
$\frac{d}{dx}(e^x - e^y) = e^x - e^y \cdot \frac{dy}{dx}$（链式法则）
右边求导
$\frac{d}{dx}(\sin(xy)) = \cos(xy) \cdot \frac{d}{dx}(xy) = \cos(xy) \cdot (y + x \frac{dy}{dx})$（乘积法则）
建立方程
将两边导数相等：
$e^x - e^y \frac{dy}{dx} = \cos(xy)(y + x \frac{dy}{dx})$
整理方程
将含$\frac{dy}{dx}$的项移到左边，其余项移到右边：
$e^x - y \cos(xy) = e^y \frac{dy}{dx} + x \cos(xy) \frac{dy}{dx}$
提取公因子$\frac{dy}{dx}$
$e^x - y \cos(xy) = \frac{dy}{dx} \left( e^y + x \cos(xy) \right)$
解得$\frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x - y \cos(xy)}{e^y + x \cos(xy)}$
写成微分形式
$dy = \frac{e^x - y \cos(xy)}{e^y + x \cos(xy)} dx$