设直线 L_(1): (x-1)/(1) = (y-5)/(-2) = (z+8)/(1), L_(2): } x-y-6=0 2y+z-3=0 的夹角为 ( ).A. (pi)/(6)B. (pi)/(4)C. (pi)/(3)D. (pi)/(2)

我们来解决这个题目，题目是求两条直线 $ L_1 $ 和 $ L_2 $ 的夹角。

第一步：理解题意

我们有两条直线：

• $ L_1 $：用对称式表示为
  $\frac{x-1}{1} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z+8}{1}$
  这是直线的标准对称式，表示该直线经过点 $ (1, 5, -8) $，方向向量为
  $\vec{v}_1 = \langle 1, -2, 1 \rangle$

• $ L_2 $：用两个平面方程联立表示为
  $\begin{cases} x - y - 6 = 0 \\ 2y + z - 3 = 0 \end{cases}$
  这表示 $ L_2 $ 是两个平面的交线，我们可以通过求这两个平面的法向量的叉积来得到直线的方向向量。

第二步：求 $ L_2 $ 的方向向量

设平面1的法向量为 $ \vec{n}_1 = \langle 1, -1, 0 \rangle $，
平面2的法向量为 $ \vec{n}_2 = \langle 0, 2, 1 \rangle $。

那么直线 $ L_2 $ 的方向向量为：
$\vec{v}_2 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$

我们来计算叉积：

$\vec{v}_2 = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\1 & -1 & 0 \\0 & 2 & 1\end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(1) - (0)(2)) - \mathbf{j}((1)(1) - (0)(0)) + \mathbf{k}((1)(2) - (-1)(0))$

$= \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(2) = \langle -1, -1, 2 \rangle$

所以 $ \vec{v}_2 = \langle -1, -1, 2 \rangle $

第三步：求两条直线的夹角

设两条直线的夹角为 $ \theta $，则有：
$\cos\theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{$\vec{v}_1$ \cdot $\vec{v}_2$}$

先计算点积：

$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = -1 + 2 + 2 = 3$

计算模长：

$$\vec{v}_1$ = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
$$\vec{v}_2$ = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

所以：

$\cos\theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

因此：

$\theta = \cos^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3}$

最终答案：

$\boxed{\text{C. } \frac{\pi}{3}}$