求定积分(int )_(0)^4ln (sqrt (x)+1)dx.

步骤 1：换元
令$u=\sqrt{x}+1$，则$x=(u-1)^2$，$dx=2(u-1)du$。
步骤 2：积分区间变换
当$x=0$时，$u=1$；当$x=4$时，$u=3$。因此，积分区间从$[0,4]$变为$[1,3]$。
步骤 3：代入换元后的积分
${\int }_{0}^{4}\ln (\sqrt {x}+1)dx={\int }_{1}^{3}\ln u\cdot 2(u-1)du$。
步骤 4：分部积分法
将${\int }_{1}^{3}\ln u\cdot 2(u-1)du$拆分为${\int }_{1}^{3}2u\ln udu-{\int }_{1}^{3}2\ln udu$。
步骤 5：计算第一个积分
${\int }_{1}^{3}2u\ln udu$，使用分部积分法，设$u=\ln u$，$dv=2udu$，则$du=\frac{1}{u}du$，$v=u^2$，得到${\int }_{1}^{3}2u\ln udu=[u^2\ln u]_1^3-{\int }_{1}^{3}u^2\frac{1}{u}du=[u^2\ln u]_1^3-{\int }_{1}^{3}udu=[u^2\ln u]_1^3-\frac{1}{2}u^2|_1^3$。
步骤 6：计算第二个积分
${\int }_{1}^{3}2\ln udu$，使用分部积分法，设$u=\ln u$，$dv=2du$，则$du=\frac{1}{u}du$，$v=2u$，得到${\int }_{1}^{3}2\ln udu=[2u\ln u]_1^3-{\int }_{1}^{3}2du=[2u\ln u]_1^3-2u|_1^3$。
步骤 7：计算结果
将步骤 5 和步骤 6 的结果代入步骤 4，得到${\int }_{0}^{4}\ln (\sqrt {x}+1)dx=[u^2\ln u]_1^3-\frac{1}{2}u^2|_1^3-[2u\ln u]_1^3+2u|_1^3$。
步骤 8：简化结果
将步骤 7 的结果简化，得到${\int }_{0}^{4}\ln (\sqrt {x}+1)dx=3\ln 3$。