题目
已知y = y(x)是方程e^x+y - xy - e = 0所确定的隐函数，求y'(0).
已知$y = y(x)$是方程$e^{x+y} - xy - e = 0$所确定的隐函数，求$y'(0)$.
题目解答
答案
我们已知 $ y = y(x) $ 是由方程
$$
e^{x+y} - xy - e = 0
$$
所确定的隐函数，要求的是 $ y'(0) $，即在 $ x = 0 $ 处的导数。
---
### 第一步：对方程两边关于 $ x $ 求导（隐函数求导）
原方程：
$$
e^{x+y} - xy - e = 0
$$
对两边关于 $ x $ 求导，注意 $ y $ 是 $ x $ 的函数，因此使用链式法则和乘积法则。
1. 对 $ e^{x+y} $ 求导：
令 $ u = x + y $，则
$$
\frac{d}{dx} e^{x+y} = e^{x+y} \cdot \frac{d}{dx}(x + y) = e^{x+y} (1 + y')
$$
2. 对 $ -xy $ 求导：
使用乘积法则：
$$
\frac{d}{dx}(-xy) = -\left( x \cdot y' + y \cdot 1 \right) = -x y' - y
$$
3. 对常数 $ -e $ 求导：结果为 0。
将这些代入，得到：
$$
e^{x+y}(1 + y') - x y' - y = 0
$$
---
### 第二步：整理方程，解出 $ y' $
把含有 $ y' $ 的项移到一边：
$$
e^{x+y}(1 + y') - x y' - y = 0
$$
展开：
$$
e^{x+y} + e^{x+y} y' - x y' - y = 0
$$
提取 $ y' $：
$$
e^{x+y} y' - x y' = y - e^{x+y}
$$
$$
y' (e^{x+y} - x) = y - e^{x+y}
$$
解得：
$$
y' = \frac{y - e^{x+y}}{e^{x+y} - x}
$$
---
### 第三步：求 $ y'(0) $，需要先求出 $ y(0) $
我们要求 $ y'(0) $，所以需要知道当 $ x = 0 $ 时，$ y = y(0) $ 的值。
代入原方程 $ x = 0 $：
$$
e^{0 + y} - 0 \cdot y - e = 0 \Rightarrow e^y - e = 0 \Rightarrow e^y = e \Rightarrow y = 1
$$
所以：
$$
y(0) = 1
$$
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### 第四步：代入 $ x = 0, y = 1 $ 到 $ y' $ 的表达式中
先计算 $ e^{x+y} = e^{0+1} = e $
代入：
$$
y'(0) = \frac{1 - e}{e - 0} = \frac{1 - e}{e}
$$
可以写成：
$$
y'(0) = \frac{1}{e} - 1
$$
---
### 最终答案：
$$
\boxed{y'(0) = \frac{1 - e}{e}}
$$
或等价地：
$$
\boxed{y'(0) = \frac{1}{e} - 1}
$$
解析
考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，以及如何通过代入特定点求解导数的值。
解题核心思路：
- 隐函数求导：对原方程两边关于$x$求导，注意使用链式法则和乘积法则。
- 整理方程：将求导后的方程整理为关于$y'$的表达式，解出$y'$。
- 代入特定点：先求出$x=0$时对应的$y(0)$值，再代入导数表达式中计算$y'(0)$。
破题关键点：
- 正确求导：特别注意对$e^{x+y}$和$-xy$项的求导过程。
- 代入点的确定：通过原方程求出$x=0$时的$y$值，是后续计算的基础。
第一步：对原方程求导
原方程：
$e^{x+y} - xy - e = 0$
对$x$求导，注意$y$是$x$的函数：
- 对$e^{x+y}$求导：
使用链式法则，导数为：
$e^{x+y} \cdot (1 + y')$ - 对$-xy$求导：
使用乘积法则，导数为：
$-\left( x y' + y \right)$ - 对$-e$求导：结果为$0$。
综合得：
$e^{x+y}(1 + y') - x y' - y = 0$
第二步：整理方程解出$y'$
将含$y'$的项移到左边，其余项移到右边：
$e^{x+y} y' - x y' = y - e^{x+y}$
提取$y'$：
$y' (e^{x+y} - x) = y - e^{x+y}$
解得：
$y' = \frac{y - e^{x+y}}{e^{x+y} - x}$
第三步：求$y(0)$
将$x=0$代入原方程：
$e^{0 + y} - 0 \cdot y - e = 0 \implies e^y = e \implies y = 1$
因此，$y(0) = 1$。
第四步：代入求$y'(0)$
将$x=0$和$y=1$代入$y'$的表达式：
$e^{x+y} = e^{0+1} = e$
代入得：
$y'(0) = \frac{1 - e}{e - 0} = \frac{1 - e}{e}$
可化简为：
$y'(0) = \frac{1}{e} - 1$