题目
有一直杆的长度为 L , 质量为 m 且质量分布均匀 , 此杆可绕一端的O点在竖直平面内自由转动 . 当杆从静止开始的水平位置转到竖直位置时 , 杆的角速度为 :A.sqrt (dfrac {39)(L)} A.sqrt (dfrac {39)(L)}A.sqrt (dfrac {39)(L)} A.sqrt (dfrac {39)(L)}
有一直杆的长度为 L , 质量为 m 且质量分布均匀 , 此杆可绕一端的O点在竖直平面内自由转动 . 当杆从静止开始的水平位置转到竖直位置时 , 杆的角速度为 :
题目解答
答案
杆的转动惯量
由能量守恒定律得
选A
解析
步骤 1：确定杆的转动惯量
杆的转动惯量$J$可以通过公式$J=\dfrac {1}{3}m{l}^{2}$计算，其中$m$是杆的质量，$l$是杆的长度。这是因为杆的质量分布均匀，且绕一端转动。
步骤 2：应用能量守恒定律
当杆从静止开始的水平位置转到竖直位置时，杆的重力势能转化为动能。根据能量守恒定律，杆的重力势能变化量等于其动能变化量。重力势能变化量为$\dfrac {1}{2}mgl$，其中$g$是重力加速度，$l$是杆的长度。动能变化量为$\dfrac {1}{2}J\omega^2$，其中$\omega$是杆的角速度。
步骤 3：计算角速度
将步骤 1 和步骤 2 中的公式代入能量守恒定律，得到$\dfrac {1}{2}mgl=\dfrac {1}{2}J\omega^2$。将$J=\dfrac {1}{3}m{l}^{2}$代入，得到$\dfrac {1}{2}mgl=\dfrac {1}{2}\dfrac {1}{3}m{l}^{2}\omega^2$。化简得到$\omega=\sqrt {\dfrac {3g}{L}}$。
杆的转动惯量$J$可以通过公式$J=\dfrac {1}{3}m{l}^{2}$计算，其中$m$是杆的质量，$l$是杆的长度。这是因为杆的质量分布均匀，且绕一端转动。
步骤 2：应用能量守恒定律
当杆从静止开始的水平位置转到竖直位置时，杆的重力势能转化为动能。根据能量守恒定律，杆的重力势能变化量等于其动能变化量。重力势能变化量为$\dfrac {1}{2}mgl$，其中$g$是重力加速度，$l$是杆的长度。动能变化量为$\dfrac {1}{2}J\omega^2$，其中$\omega$是杆的角速度。
步骤 3：计算角速度
将步骤 1 和步骤 2 中的公式代入能量守恒定律，得到$\dfrac {1}{2}mgl=\dfrac {1}{2}J\omega^2$。将$J=\dfrac {1}{3}m{l}^{2}$代入，得到$\dfrac {1}{2}mgl=\dfrac {1}{2}\dfrac {1}{3}m{l}^{2}\omega^2$。化简得到$\omega=\sqrt {\dfrac {3g}{L}}$。