题目
设有n=125个分散得很开的球状小水滴，具有相同半径并带相同电荷。若将这n个小水滴聚集成一个球状的大水滴，此大水滴的电势与小水滴的电势的比值为a=（ ）（设电荷分布在水滴表面上，水滴聚集时总电荷无损失。）A. 4.0B. 9.0C. 16D. 25
设有n=125个分散得很开的球状小水滴，具有相同半径并带相同电荷。若将这n个小水滴聚集成一个球状的大水滴，此大水滴的电势与小水滴的电势的比值为a=（ ）（设电荷分布在水滴表面上，水滴聚集时总电荷无损失。）
A. 4.0
B. 9.0
C. 16
D. 25
题目解答
答案
D. 25
解析
步骤 1：确定小水滴和大水滴的体积关系
设小水滴的半径为r，大水滴的半径为R。因为n个小水滴聚集成一个大水滴，所以它们的总体积相等。小水滴的体积为\(V_{小} = \frac{4}{3}\pi r^3\)，大水滴的体积为\(V_{大} = \frac{4}{3}\pi R^3\)。根据题意，\(nV_{小} = V_{大}\)，即\(n\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi R^3\)，从而得到\(R^3 = nr^3\)，即\(R = r\sqrt[3]{n}\)。
步骤 2：确定电势关系
电势\(V\)与电荷\(Q\)和半径\(r\)的关系为\(V = k\frac{Q}{r}\)，其中\(k\)为库仑常数。因为电荷分布在水滴表面上，水滴聚集时总电荷无损失，所以大水滴的电荷\(Q_{大} = nQ_{小}\)。因此，大水滴的电势\(V_{大} = k\frac{Q_{大}}{R} = k\frac{nQ_{小}}{r\sqrt[3]{n}} = k\frac{Q_{小}}{r}\sqrt[3]{n^2}\)。小水滴的电势\(V_{小} = k\frac{Q_{小}}{r}\)。所以，大水滴的电势与小水滴的电势的比值为\(a = \frac{V_{大}}{V_{小}} = \sqrt[3]{n^2}\)。
步骤 3：计算比值
根据题目条件，\(n = 125\)，所以\(a = \sqrt[3]{125^2} = \sqrt[3]{15625} = 25\)。
设小水滴的半径为r，大水滴的半径为R。因为n个小水滴聚集成一个大水滴，所以它们的总体积相等。小水滴的体积为\(V_{小} = \frac{4}{3}\pi r^3\)，大水滴的体积为\(V_{大} = \frac{4}{3}\pi R^3\)。根据题意，\(nV_{小} = V_{大}\)，即\(n\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi R^3\)，从而得到\(R^3 = nr^3\)，即\(R = r\sqrt[3]{n}\)。
步骤 2：确定电势关系
电势\(V\)与电荷\(Q\)和半径\(r\)的关系为\(V = k\frac{Q}{r}\)，其中\(k\)为库仑常数。因为电荷分布在水滴表面上，水滴聚集时总电荷无损失，所以大水滴的电荷\(Q_{大} = nQ_{小}\)。因此，大水滴的电势\(V_{大} = k\frac{Q_{大}}{R} = k\frac{nQ_{小}}{r\sqrt[3]{n}} = k\frac{Q_{小}}{r}\sqrt[3]{n^2}\)。小水滴的电势\(V_{小} = k\frac{Q_{小}}{r}\)。所以，大水滴的电势与小水滴的电势的比值为\(a = \frac{V_{大}}{V_{小}} = \sqrt[3]{n^2}\)。
步骤 3：计算比值
根据题目条件，\(n = 125\)，所以\(a = \sqrt[3]{125^2} = \sqrt[3]{15625} = 25\)。