极限 lim_(n to infty) (1)/(n) sum_(i=1)^n sqrt(1 + (i)/(n)) 用定积分表示为(）。A. int_(0)^1 sqrt(x) , dxB. int_(0)^1 sqrt(1 + x) , dxC. int_(1)^2 sqrt(x) , dxD. int_(1)^2 sqrt(1 + x) , dx

本题考查定积分的定义，关键是将数列极限转化为定积分的形式。

步骤1：回顾定积分的定义

定积分的定义为：
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(a + i \cdot \frac{b-a}{n}\right) \cdot \frac{b-a}{n}$
其中，$\Delta x = \frac{b-a}{n}$（区间长度分割），$x_i = a + i\Delta x$（第$i$个分点），求和式的极限即为积分。

步骤2：分析题目中的极限结构

题目给出的极限为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{i}{n}}$
对比定积分定义，发现：

• $\frac{1}{n} = \Delta x$，即$\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{1}{n}$，说明区间长度$b-a=1$；
• 根号内的$\frac{i}{n} = i\Delta x$，即$x_i = a + i\Delta x = \frac{i}{n}$，因此$a=0$，$b=a+1=1$；
• 被积函数$f(x_i) = \sqrt{1 + x_i} = \sqrt{1 + \frac{i}{n}}$，故$f(x) = \sqrt{1 + x}$。

步骤3：确认定积分表达式

根据上述分析，极限对应的定积分为：
$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + x} \, dx$
即选项B。