题目
19.设随机变量X的密度函数为:-|||-f(x)= ) x,0lt xlt 1 2,xleqslant 1leqslant xlt 2 0,1leqslant x
题目解答
答案
解析
步骤 1：求分布函数F(x)
分布函数F(x)定义为随机变量X小于等于x的概率，即$F(x) = P(X \leq x)$。对于给定的密度函数f(x)，分布函数可以通过对密度函数进行积分得到。根据f(x)的定义，我们需要分段考虑。
- 当$x < 0$时，$F(x) = 0$，因为密度函数在$x < 0$时为0。
- 当$0 \leq x < 1$时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} t dt = \frac{x^2}{2}$。
- 当$1 \leq x < 2$时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{1} t dt + \int_{1}^{x} (2-t) dt = \frac{1}{2} + (2x - \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2}) = -\frac{x^2}{2} + 2x - 1$。
- 当$x \geq 2$时，$F(x) = 1$，因为密度函数在$x \geq 2$时为0，且分布函数在$x \to \infty$时应为1。
步骤 2：计算$P\{ X < 1.5\}$
根据分布函数的定义，$P\{ X < 1.5\} = F(1.5)$。根据步骤1中得到的分布函数，当$1 \leq x < 2$时，$F(x) = -\frac{x^2}{2} + 2x - 1$，因此$F(1.5) = -\frac{(1.5)^2}{2} + 2(1.5) - 1 = -\frac{2.25}{2} + 3 - 1 = -1.125 + 2 = 0.875$。
分布函数F(x)定义为随机变量X小于等于x的概率，即$F(x) = P(X \leq x)$。对于给定的密度函数f(x)，分布函数可以通过对密度函数进行积分得到。根据f(x)的定义，我们需要分段考虑。
- 当$x < 0$时，$F(x) = 0$，因为密度函数在$x < 0$时为0。
- 当$0 \leq x < 1$时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} t dt = \frac{x^2}{2}$。
- 当$1 \leq x < 2$时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{1} t dt + \int_{1}^{x} (2-t) dt = \frac{1}{2} + (2x - \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2}) = -\frac{x^2}{2} + 2x - 1$。
- 当$x \geq 2$时，$F(x) = 1$，因为密度函数在$x \geq 2$时为0，且分布函数在$x \to \infty$时应为1。
步骤 2：计算$P\{ X < 1.5\}$
根据分布函数的定义，$P\{ X < 1.5\} = F(1.5)$。根据步骤1中得到的分布函数，当$1 \leq x < 2$时，$F(x) = -\frac{x^2}{2} + 2x - 1$，因此$F(1.5) = -\frac{(1.5)^2}{2} + 2(1.5) - 1 = -\frac{2.25}{2} + 3 - 1 = -1.125 + 2 = 0.875$。