题目
3.（计算题，7.0分）求二元函数f(x,y)=x^3-3x^2-9x+y^2-2y+2的极值。
3.（计算题，7.0分）
求二元函数$f(x,y)=x^{3}-3x^{2}-9x+y^{2}-2y+2$的极值。
题目解答
答案
求一阶偏导数：
\[
f_x = 3x^2 - 6x - 9, \quad f_y = 2y - 2
\]
解方程组 $f_x = 0$ 和 $f_y = 0$：
\[
\begin{cases}
3x^2 - 6x - 9 = 0 \implies x = -1 \text{ 或 } x = 3 \\
2y - 2 = 0 \implies y = 1
\end{cases}
\]
得驻点 $(-1, 1)$ 和 $(3, 1)$。
求二阶偏导数：
\[
f_{xx} = 6x - 6, \quad f_{xy} = 0, \quad f_{yy} = 2
\]
对于驻点 $(-1, 1)$：
\[
A = -12, \quad B = 0, \quad C = 2 \implies AC - B^2 = -24 < 0 \quad \text{(非极值点)}
\]
对于驻点 $(3, 1)$：
\[
A = 12, \quad B = 0, \quad C = 2 \implies AC - B^2 = 24 > 0 \quad \text{(极小值点)}
\]
计算极小值：
\[
f(3, 1) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 + 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = -26
\]
**答案：极小值为 $-26$，极小值点为 $(3, 1)$。**
解析
步骤 1：求一阶偏导数
对函数$f(x,y)=x^{3}-3x^{2}-9x+y^{2}-2y+2$分别对$x$和$y$求偏导数，得到：
\[ f_x = 3x^2 - 6x - 9 \]
\[ f_y = 2y - 2 \]
步骤 2：解方程组$f_x = 0$和$f_y = 0$
解方程组：
\[ \begin{cases} 3x^2 - 6x - 9 = 0 \\ 2y - 2 = 0 \end{cases} \]
得到：
\[ x = -1 \text{ 或 } x = 3 \]
\[ y = 1 \]
因此，驻点为$(-1, 1)$和$(3, 1)$。
步骤 3：求二阶偏导数
对$f_x$和$f_y$分别求偏导数，得到：
\[ f_{xx} = 6x - 6 \]
\[ f_{xy} = 0 \]
\[ f_{yy} = 2 \]
步骤 4：判断极值点
对于驻点$(-1, 1)$：
\[ A = f_{xx}(-1, 1) = -12 \]
\[ B = f_{xy}(-1, 1) = 0 \]
\[ C = f_{yy}(-1, 1) = 2 \]
\[ AC - B^2 = -24 < 0 \]
因此，$(-1, 1)$不是极值点。
对于驻点$(3, 1)$：
\[ A = f_{xx}(3, 1) = 12 \]
\[ B = f_{xy}(3, 1) = 0 \]
\[ C = f_{yy}(3, 1) = 2 \]
\[ AC - B^2 = 24 > 0 \]
因此，$(3, 1)$是极小值点。
步骤 5：计算极小值
将$(3, 1)$代入原函数$f(x,y)$，得到极小值：
\[ f(3, 1) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 + 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = -26 \]
对函数$f(x,y)=x^{3}-3x^{2}-9x+y^{2}-2y+2$分别对$x$和$y$求偏导数，得到：
\[ f_x = 3x^2 - 6x - 9 \]
\[ f_y = 2y - 2 \]
步骤 2：解方程组$f_x = 0$和$f_y = 0$
解方程组：
\[ \begin{cases} 3x^2 - 6x - 9 = 0 \\ 2y - 2 = 0 \end{cases} \]
得到：
\[ x = -1 \text{ 或 } x = 3 \]
\[ y = 1 \]
因此，驻点为$(-1, 1)$和$(3, 1)$。
步骤 3：求二阶偏导数
对$f_x$和$f_y$分别求偏导数，得到：
\[ f_{xx} = 6x - 6 \]
\[ f_{xy} = 0 \]
\[ f_{yy} = 2 \]
步骤 4：判断极值点
对于驻点$(-1, 1)$：
\[ A = f_{xx}(-1, 1) = -12 \]
\[ B = f_{xy}(-1, 1) = 0 \]
\[ C = f_{yy}(-1, 1) = 2 \]
\[ AC - B^2 = -24 < 0 \]
因此，$(-1, 1)$不是极值点。
对于驻点$(3, 1)$：
\[ A = f_{xx}(3, 1) = 12 \]
\[ B = f_{xy}(3, 1) = 0 \]
\[ C = f_{yy}(3, 1) = 2 \]
\[ AC - B^2 = 24 > 0 \]
因此，$(3, 1)$是极小值点。
步骤 5：计算极小值
将$(3, 1)$代入原函数$f(x,y)$，得到极小值：
\[ f(3, 1) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 + 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = -26 \]