题目
设 L 是圆周 x^2 + y^2 = 2，则对弧长的曲线积分 int_(L) (x^2 + y^2), ds = ( )A. 4sqrt(2)piB. 4piC. 8sqrt(2)piD. 8pi
设 $L$ 是圆周 $x^2 + y^2 = 2$，则对弧长的曲线积分 $\int_{L} (x^2 + y^2)\, ds = (\quad)$
A. $4\sqrt{2}\pi$
B. $4\pi$
C. $8\sqrt{2}\pi$
D. $8\pi$
题目解答
答案
A. $4\sqrt{2}\pi$
解析
步骤 1：参数化圆周 $L$
圆周 $x^2 + y^2 = 2$ 可以参数化为：\[ x = \sqrt{2} \cos t, \quad y = \sqrt{2} \sin t, \quad 0 \leq t \leq 2\pi \]
步骤 2：计算弧长微分 $ds$
弧长微分 $ds$ 可以用参数 $t$ 表示为：\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \] 其中，\[ \frac{dx}{dt} = -\sqrt{2} \sin t, \quad \frac{dy}{dt} = \sqrt{2} \cos t \] 因此，\[ ds = \sqrt{(-\sqrt{2} \sin t)^2 + (\sqrt{2} \cos t)^2} \, dt = \sqrt{2 \sin^2 t + 2 \cos^2 t} \, dt = \sqrt{2 (\sin^2 t + \cos^2 t)} \, dt = \sqrt{2} \, dt \]
步骤 3：将 $x^2 + y^2$ 和 $ds$ 代入曲线积分
在圆周 $x^2 + y^2 = 2$ 上， $x^2 + y^2$ 的值恒为 2。因此，曲线积分变为：\[ \oint_{L} (x^2 + y^2) \, ds = \oint_{L} 2 \, ds = 2 \oint_{L} ds \] 而 $\oint_{L} ds$ 是圆周 $L$ 的周长，即：\[ \oint_{L} ds = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2} \, dt = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} dt = \sqrt{2} \cdot 2\pi = 2\sqrt{2}\pi \] 因此，\[ \oint_{L} (x^2 + y^2) \, ds = 2 \cdot 2\sqrt{2}\pi = 4\sqrt{2}\pi \]
圆周 $x^2 + y^2 = 2$ 可以参数化为：\[ x = \sqrt{2} \cos t, \quad y = \sqrt{2} \sin t, \quad 0 \leq t \leq 2\pi \]
步骤 2：计算弧长微分 $ds$
弧长微分 $ds$ 可以用参数 $t$ 表示为：\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \] 其中，\[ \frac{dx}{dt} = -\sqrt{2} \sin t, \quad \frac{dy}{dt} = \sqrt{2} \cos t \] 因此，\[ ds = \sqrt{(-\sqrt{2} \sin t)^2 + (\sqrt{2} \cos t)^2} \, dt = \sqrt{2 \sin^2 t + 2 \cos^2 t} \, dt = \sqrt{2 (\sin^2 t + \cos^2 t)} \, dt = \sqrt{2} \, dt \]
步骤 3：将 $x^2 + y^2$ 和 $ds$ 代入曲线积分
在圆周 $x^2 + y^2 = 2$ 上， $x^2 + y^2$ 的值恒为 2。因此，曲线积分变为：\[ \oint_{L} (x^2 + y^2) \, ds = \oint_{L} 2 \, ds = 2 \oint_{L} ds \] 而 $\oint_{L} ds$ 是圆周 $L$ 的周长，即：\[ \oint_{L} ds = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2} \, dt = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} dt = \sqrt{2} \cdot 2\pi = 2\sqrt{2}\pi \] 因此，\[ \oint_{L} (x^2 + y^2) \, ds = 2 \cdot 2\sqrt{2}\pi = 4\sqrt{2}\pi \]