题目
求证:当 gt 1 时, sqrt (x)gt 3-dfrac (1)(x).
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x)=2\sqrt{x}-3+\dfrac{1}{x}$，其中 $x\in (1,+\infty)$。我们的目标是证明当 $x\gt 1$ 时，$f(x)\gt 0$。
步骤 2：求导数
求函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。根据导数的定义，我们有 $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^2}$。
步骤 3：分析导数的符号
当 $x\gt 1$ 时，有 $0\lt \sqrt{x}\lt x^2$，因此 $\dfrac{1}{\sqrt{x}}\gt \dfrac{1}{x^2}$。所以 $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^2}\gt 0$，这意味着函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是增加的。
步骤 4：确定函数的值
由于 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是增加的，所以当 $x\gt 1$ 时，恒有 $f(x)\gt f(1)=0$。即 $2\sqrt{x}-3+\dfrac{1}{x}\gt 0$。
步骤 5：得出结论
因此，当 $x\gt 1$ 时，$2\sqrt{x}\gt 3-\dfrac{1}{x}$。
定义函数 $f(x)=2\sqrt{x}-3+\dfrac{1}{x}$，其中 $x\in (1,+\infty)$。我们的目标是证明当 $x\gt 1$ 时，$f(x)\gt 0$。
步骤 2：求导数
求函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。根据导数的定义，我们有 $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^2}$。
步骤 3：分析导数的符号
当 $x\gt 1$ 时，有 $0\lt \sqrt{x}\lt x^2$，因此 $\dfrac{1}{\sqrt{x}}\gt \dfrac{1}{x^2}$。所以 $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^2}\gt 0$，这意味着函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是增加的。
步骤 4：确定函数的值
由于 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是增加的，所以当 $x\gt 1$ 时，恒有 $f(x)\gt f(1)=0$。即 $2\sqrt{x}-3+\dfrac{1}{x}\gt 0$。
步骤 5：得出结论
因此，当 $x\gt 1$ 时，$2\sqrt{x}\gt 3-\dfrac{1}{x}$。