题目
I-|||-R-|||-← 6-|||-I 将通有电流I的导线在同一平面内弯成如图所示的形状,求O点的磁感应强度B的大小。
将通有电流I的导线在同一平面内弯成如图所示的形状,求O点的磁感应强度B的大小。
题目解答
答案
解: 
方向垂直纸面向里;
方向垂直纸面向里;
方向垂直纸面向里。
解析
步骤 1：确定各段导线在O点产生的磁感应强度
根据毕奥-萨伐尔定律，一段载流导线在空间某点产生的磁感应强度与电流大小、导线长度、导线与该点的距离以及导线与该点连线的夹角有关。对于一段圆弧形导线，其在圆心处产生的磁感应强度为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{2R}$，其中 ${\mu}_{0}$ 是真空磁导率，$I$ 是电流，$R$ 是圆弧的半径。对于直线段，其在某点产生的磁感应强度可以通过积分计算，但本题中直线段在O点产生的磁感应强度可以通过对称性直接得出。
步骤 2：计算各段导线在O点产生的磁感应强度
对于圆弧段，其在O点产生的磁感应强度为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{2R}$，方向垂直纸面向里。对于直线段，由于对称性，其在O点产生的磁感应强度为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{4\pi R}(\cos{\alpha}_{1}-\cos{\alpha}_{2})$，其中 ${\alpha}_{1}$ 和 ${\alpha}_{2}$ 是直线段与O点连线的夹角。由于直线段与O点连线的夹角为90度，所以 $\cos{\alpha}_{1} = \cos{\alpha}_{2} = 0$，因此直线段在O点产生的磁感应强度为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{4\pi R}$，方向垂直纸面向里。
步骤 3：计算总磁感应强度
将各段导线在O点产生的磁感应强度相加，得到总磁感应强度为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{2R} + \dfrac{{\mu}_{0}I}{4\pi R} = \dfrac{{\mu}_{0}I}{4\pi R} + \dfrac{3{\mu}_{0}I}{8R}$，方向垂直纸面向里。
根据毕奥-萨伐尔定律，一段载流导线在空间某点产生的磁感应强度与电流大小、导线长度、导线与该点的距离以及导线与该点连线的夹角有关。对于一段圆弧形导线，其在圆心处产生的磁感应强度为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{2R}$，其中 ${\mu}_{0}$ 是真空磁导率，$I$ 是电流，$R$ 是圆弧的半径。对于直线段，其在某点产生的磁感应强度可以通过积分计算，但本题中直线段在O点产生的磁感应强度可以通过对称性直接得出。
步骤 2：计算各段导线在O点产生的磁感应强度
对于圆弧段，其在O点产生的磁感应强度为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{2R}$，方向垂直纸面向里。对于直线段，由于对称性，其在O点产生的磁感应强度为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{4\pi R}(\cos{\alpha}_{1}-\cos{\alpha}_{2})$，其中 ${\alpha}_{1}$ 和 ${\alpha}_{2}$ 是直线段与O点连线的夹角。由于直线段与O点连线的夹角为90度，所以 $\cos{\alpha}_{1} = \cos{\alpha}_{2} = 0$，因此直线段在O点产生的磁感应强度为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{4\pi R}$，方向垂直纸面向里。
步骤 3：计算总磁感应强度
将各段导线在O点产生的磁感应强度相加，得到总磁感应强度为 $\dfrac{{\mu}_{0}I}{2R} + \dfrac{{\mu}_{0}I}{4\pi R} = \dfrac{{\mu}_{0}I}{4\pi R} + \dfrac{3{\mu}_{0}I}{8R}$，方向垂直纸面向里。