试计算本征 Si 在室温时的电导率，设电子迁移率和空穴迁移率分别为 1450 mathrm(~cm)^2/(mathrm(V) cdot mathrm(s)) 和 500 mathrm(~cm)^2/(mathrm(V) cdot mathrm(s))。在掺入百万分之一的 As 后，设杂质全部电离，试计算其电导率，比本征 Si 的电导率增大了多少倍？

考查要点：本征半导体与掺杂半导体的电导率计算，载流子浓度与迁移率的关系。

解题核心思路：

1. 本征半导体电导率：由电子和空穴共同导电，载流子浓度相等（$n_i = p_i$），总电导率由两者贡献之和决定。
2. 掺杂半导体电导率：杂质完全电离时，载流子浓度由杂质浓度决定，且仅考虑多数载流子（电子或空穴）的导电贡献。
3. 倍数计算：直接比较掺杂前后电导率的比值。

破题关键点：

• 本征载流子浓度：室温下本征硅的$n_i \approx 1.5 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3}$。
• 杂质浓度计算：根据掺杂比例和硅的原子浓度计算杂质浓度。
• 导电机制差异：本征半导体双极导电，掺杂半导体单极导电。

本征 Si 的电导率

1. 公式选择：
   本征半导体电导率公式为：
   $\sigma = q n_i (\mu_n + \mu_p)$
   其中，$q = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}$，$n_i = 1.5 \times 10^{10} \, \text{cm}^{-3}$，$\mu_n = 1450 \, \text{cm}^2/(\text{V} \cdot \text{s})$，$\mu_p = 500 \, \text{cm}^2/(\text{V} \cdot \text{s})$。

2. 代入计算：
   $\sigma = 1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \times 10^{10} \times (1450 + 500) = 4.8 \times 10^{-6} \, (\Omega \cdot \text{cm})^{-1}$

掺杂 Si 的电导率

1. 杂质浓度计算：
   硅的原子浓度为：
   $n_{\text{Si}} = \frac{\rho}{M} N_A = \frac{2.33}{28} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 5 \times 10^{22} \, \text{cm}^{-3}$
   掺杂浓度为百万分之一：
   $N_d = n_{\text{Si}} \times 10^{-6} = 5 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}$

2. 电导率公式：
   n型半导体中，电导率由电子贡献：
   $\sigma' = q N_d \mu_n = 1.6 \times 10^{-19} \times 5 \times 10^{16} \times 1450 = 11.6 \, (\Omega \cdot \text{cm})^{-1}$

增大倍数

$\frac{\sigma'}{\sigma} = \frac{11.6}{4.8 \times 10^{-6}} \approx 2.42 \times 10^6$