题目
iiint_(Omega) (xz)/(y^3) , dx , dy , dz = ( )其中Omega是曲面z=0，y=1与抛物柱面y=x^2以及z=y^2所围成的闭区域。A. 1B. 0C. (pi)/(Delta)D. (3)/(2)
$\iiint_{\Omega} \frac{xz}{y^3} \, dx \, dy \, dz = (\ )$ 其中$\Omega$是曲面$z=0$，$y=1$与抛物柱面$y=x^2$以及$z=y^2$所围成的闭区域。 A. 1 B. 0 C. $\frac{\pi}{\Delta}$ D. $\frac{3}{2}$
题目解答
答案
我们来求解三重积分：
$$
\iiint_{\Omega} \frac{xz}{y^3} \, dx \, dy \, dz
$$
其中积分区域 $\Omega$ 是由以下曲面围成的闭区域：
- 底面：$z = 0$
- 顶面：$z = y^2$
- 侧面：$y = 1$
- 侧面：$y = x^2$
---
### 第一步：确定积分区域 $\Omega$
我们分析积分区域 $\Omega$ 的边界：
- $z$ 的范围：从 $z = 0$ 到 $z = y^2$
- $y$ 的范围：从 $y = x^2$ 到 $y = 1$
- $x$ 的范围：由于 $y = x^2$ 是抛物线，我们考虑对称性。$x$ 的范围为 $-1 \le x \le 1$，因为当 $y = 1$ 时，$x^2 = 1$，即 $x = \pm1$
所以积分区域 $\Omega$ 是：
$$
\Omega = \left\{(x, y, z) \mid -1 \le x \le 1,\ x^2 \le y \le 1,\ 0 \le z \le y^2 \right\}
$$
---
### 第二步：写出三重积分表达式
我们按照积分顺序 $dz \, dy \, dx$ 来写：
$$
\iiint_{\Omega} \frac{xz}{y^3} \, dx \, dy \, dz = \int_{-1}^{1} \int_{x^2}^{1} \int_{0}^{y^2} \frac{xz}{y^3} \, dz \, dy \, dx
$$
---
### 第三步：逐层积分
#### 1. 对 $z$ 积分：
$$
\int_{0}^{y^2} \frac{xz}{y^3} \, dz = \frac{x}{y^3} \int_{0}^{y^2} z \, dz = \frac{x}{y^3} \cdot \left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{y^2} = \frac{x}{y^3} \cdot \frac{y^4}{2} = \frac{x y}{2}
$$
#### 2. 对 $y$ 积分：
$$
\int_{x^2}^{1} \frac{x y}{2} \, dy = \frac{x}{2} \int_{x^2}^{1} y \, dy = \frac{x}{2} \cdot \left[\frac{y^2}{2}\right]_{x^2}^{1} = \frac{x}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{x^4}{2}\right) = \frac{x}{2} \cdot \frac{1 - x^4}{2} = \frac{x(1 - x^4)}{4}
$$
#### 3. 对 $x$ 积分：
$$
\int_{-1}^{1} \frac{x(1 - x^4)}{4} \, dx = \frac{1}{4} \int_{-1}^{1} x(1 - x^4) \, dx
$$
注意：被积函数 $x(1 - x^4)$ 是一个奇函数（因为 $x$ 是奇函数，$1 - x^4$ 是偶函数，乘积是奇函数）
奇函数在对称区间 $[-1, 1]$ 上的积分等于 0：
$$
\int_{-1}^{1} x(1 - x^4) \, dx = 0
$$
所以：
$$
\iiint_{\Omega} \frac{xz}{y^3} \, dx \, dy \, dz = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0
$$
---
### 最终答案：
$$
\boxed{B. \ 0}
$$
解析
本题考查三重积分的计算，解题思路是先根据给定的曲面方程确定积分区域 $\Omega$ 的范围，然后将三重积分化为三次积分，按照 $dz \, dy \, dx$ 的顺序逐层进行积分计算。
- 确定积分区域 $\Omega$：
- 已知 $z$ 的范围是从底面 $z = 0$ 到顶面 $z = y^2$，即 $0 \le z \le y^2$。
- $y$ 的范围是从抛物柱面 $y = x^2$ 到平面 $y = 1$，即 $x^2 \le y \le 1$。
- 对于 $x$，由于 $y = x^2$ 是抛物线，当 $y = 1$ 时，$x^2 = 1$，可得 $x = \pm1$，考虑对称性，$x$ 的范围为 $-1 \le x \le 1$。
- 所以积分区域 $\Omega$ 可表示为 $\Omega = \left\{(x, y, z) \mid -1 \le x \le 1,\ x^2 \le y \le 1,\ 0 \le z \le y^2 \right\}$。
- 写出三重积分表达式：
- 根据积分区域 $\Omega$，将三重积分 $\iiint_{\Omega} \frac{xz}{y^3} \, dx \, dy \, dz$ 化为三次积分：$\int_{-1}^{1} \int_{x^2}^{1} \int_{0}^{y^2} \frac{xz}{y^3} \, dz \, dy \, dx$。
- 逐层积分：
- 对 $z$ 积分：
- 根据积分公式 $\int z \, dz = \frac{z^2}{2} + C$，可得：
- $\int_{0}^{y^2} \frac{xz}{y^3} \, dz = \frac{x}{y^3} \int_{0}^{y^2} z \, dz = \frac{x}{y^3} \cdot \left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{y^2} = \frac{x}{y^3} \cdot \frac{y^4}{2} = \frac{xy}{2}$。
- 对 $y$ 积分：
- 根据积分公式 $\int y \, dy = \frac{y^2}{2} + C$，可得：
- $\int_{x^2}^{1} \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x}{2} \int_{x^2}^{1} y \, dy = \frac{x}{2} \cdot \left[\frac{y^2}{2}\right]_{x^2}^{1} = \frac{x}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{x^4}{2}\right) = \frac{x(1 - x^4)}{4}$。
- 对 $x$ 积分：
- 此时积分式为 $\int_{-1}^{1} \frac{x(1 - x^4)}{4} \, dx = \frac{1}{4} \int_{-1}^{1} x(1 - x^4) \, dx$。
- 因为被积函数 $f(x) = x(1 - x^4)$ 满足 $f(-x) = -x(1 - (-x)^4) = -x(1 - x^4) = -f(x)$，所以 $f(x)$ 是奇函数。
- 根据奇函数在对称区间 $[-a, a]$ 上的积分性质 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$，可得 $\int_{-1}^{1} x(1 - x^4) \, dx = 0$。
- 所以 $\iiint_{\Omega} \frac{xz}{y^3} \, dx \, dy \, dz = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0$。
- 对 $z$ 积分：