题目
8.[单选题]-|||-int dfrac (3{x)^4+3(x)^2+1}({x)^2+1}dx= () .-|||-A) ^2+arctan x+C:-|||-B ^3+tan x+C:-|||-C ^3+arctan x+C:-|||-D ^3+arctan x+C.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分解被积函数
将被积函数 $\dfrac {3{x}^{4}+3{x}^{2}+1}{{x}^{2}+1}$ 分解为多项式和一个简单的有理函数的和。注意到分子可以分解为 $3x^4 + 3x^2 + 1 = 3x^2(x^2 + 1) + 1$，因此有：
$$\dfrac {3{x}^{4}+3{x}^{2}+1}{{x}^{2}+1} = 3x^2 + \dfrac{1}{{x}^{2}+1}$$
步骤 2：积分
对分解后的函数进行积分，得到：
$$\int \left(3x^2 + \dfrac{1}{{x}^{2}+1}\right)dx = \int 3x^2 dx + \int \dfrac{1}{{x}^{2}+1}dx$$
步骤 3：计算积分
计算两个积分，得到：
$$\int 3x^2 dx = x^3 + C_1$$
$$\int \dfrac{1}{{x}^{2}+1}dx = \arctan x + C_2$$
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是积分常数，可以合并为一个常数 $C$。
将被积函数 $\dfrac {3{x}^{4}+3{x}^{2}+1}{{x}^{2}+1}$ 分解为多项式和一个简单的有理函数的和。注意到分子可以分解为 $3x^4 + 3x^2 + 1 = 3x^2(x^2 + 1) + 1$，因此有：
$$\dfrac {3{x}^{4}+3{x}^{2}+1}{{x}^{2}+1} = 3x^2 + \dfrac{1}{{x}^{2}+1}$$
步骤 2：积分
对分解后的函数进行积分，得到：
$$\int \left(3x^2 + \dfrac{1}{{x}^{2}+1}\right)dx = \int 3x^2 dx + \int \dfrac{1}{{x}^{2}+1}dx$$
步骤 3：计算积分
计算两个积分，得到：
$$\int 3x^2 dx = x^3 + C_1$$
$$\int \dfrac{1}{{x}^{2}+1}dx = \arctan x + C_2$$
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是积分常数，可以合并为一个常数 $C$。