8.[单选题]-|||-int dfrac (3{x)^4+3(x)^2+1}({x)^2+1}dx= () .-|||-A) ^2+arctan x+C:-|||-B ^3+tan x+C:-|||-C ^3+arctan x+C:-|||-D ^3+arctan x+C.

考查要点：本题主要考查分式积分的计算，涉及多项式除法和基本积分公式的应用。

解题核心思路：当被积函数的分子次数高于分母时，首先通过多项式除法将分式分解为多项式与真分式的和，再分别积分。其中，$\int \frac{1}{x^2+1}dx$ 是标准积分公式，结果为 $\arctan x + C$。

破题关键点：

1. 分解分式：将分子次数高于分母的分式拆分为多项式与真分式的和。
2. 逐项积分：分别对多项式部分和真分式部分积分，结合基本积分公式得出结果。

步骤1：多项式除法分解分式

将分子 $3x^4 + 3x^2 + 1$ 除以分母 $x^2 + 1$：

• 首项 $3x^4 \div x^2 = 3x^2$，乘以分母得 $3x^2(x^2 + 1) = 3x^4 + 3x^2$。
• 用分子减去该结果：$(3x^4 + 3x^2 + 1) - (3x^4 + 3x^2) = 1$。
• 分解结果为：$\frac{3x^4 + 3x^2 + 1}{x^2 + 1} = 3x^2 + \frac{1}{x^2 + 1}$。

步骤2：逐项积分

1. 积分多项式部分：
   $\int 3x^2 \, dx = x^3 + C_1$

2. 积分真分式部分：
   $\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan x + C_2$

步骤3：合并结果

将两部分积分结果相加：
$\int \frac{3x^4 + 3x^2 + 1}{x^2 + 1} \, dx = x^3 + \arctan x + C$