.求极限 lim _(xarrow infty )dfrac (arctan x)(x).

考查要点：本题主要考查有界函数与无穷小量乘积的极限性质，以及反正切函数（arctan x）的基本性质。

解题核心思路：
当$x \rightarrow \infty$时，分母$x$是无穷大量，而分子$\arctan x$的取值范围为$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，即$\arctan x$是有界函数。根据“有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小量”的性质，即可直接得出极限结果。

破题关键点：

1. 明确$\arctan x$的有界性（绝对值不超过$\frac{\pi}{2}$）；
2. 将分式$\frac{\arctan x}{x}$转化为$\arctan x \cdot \frac{1}{x}$，其中$\frac{1}{x}$是无穷小量；
3. 应用极限性质：有界函数乘以无穷小量的极限为0。

步骤1：分析分子和分母的性质

• 当$x \rightarrow \infty$时，$\arctan x$的取值范围为$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，即$\arctan x$是有界函数，存在常数$M = \frac{\pi}{2}$，使得$|\arctan x| \leq M$。
• 分母$x$是无穷大量，$\frac{1}{x}$是无穷小量，且$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0$。

步骤2：应用极限性质
将原式改写为：
$\frac{\arctan x}{x} = \arctan x \cdot \frac{1}{x}$
由于$\arctan x$是有界函数，$\frac{1}{x}$是无穷小量，根据“有界函数与无穷小量的乘积仍是无穷小量”的性质，可得：
$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \arctan x \cdot \frac{1}{x} = 0$