题目
若y1(x)与y1(x)是微分方程y1(x)的两个不同解，下列命题：（1）y1(x)一定是上述方程的解；（2）y1(x)一定是上述方程的解；（3）y1(x)一定是上述方程的解；（4）y1(x)一定是上述方程的通解；其中正确的命题个数为：A.1B.2C.3D.4
若
与
是微分方程
的两个不同解，
下列命题：
（1）
一定是上述方程的解；
（2）
一定是上述方程的解；
（3）
一定是上述方程的解；
（4）一定是上述方程的通解；
其中正确的命题个数为：
A.1
B.2
C.3
D.4
题目解答
答案
答案：C
解析：
∴与是微分方程的两个不同解，
∴
（①式）
（②式）成立。
对于命题（1）：
将代入微分方程中则有
成立。因此是微分方程的解。命题（1）正确
对于命题（2）：
将①式与②式相加则有
。因此是微分方程的解。命题（2）正确
对于命题（3）：
与命题（1）同理可以得到
，
都是微分方程的解。
因此与命题（2）同理可以得到是微分方程的解。命题（3）正确
对于命题（4）：
若与是微分方程的两个不同解，并且与线性无关，则有是微分方程的通解。
因无法判断与是否线性无关，因此不一定是微分方程的通解。命题（4）不正确。
综上所述正确的命题有（1）（2）（3）三个。故选C
解析
步骤 1：验证命题（1）
将2y1(x)代入微分方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0中，得到
$2{y}_{1}^{11}+2P(x){y}_{1}^{1}+2Q(x){y}_{1}$
$=2[ {y}_{1}^{11}+P(x){y}_{1}^{1}+Q(x){y}_{1}] =0$
由于y1(x)是微分方程的解，所以${y}_{1}^{11}+P(x){y}_{1}^{1}+Q(x){y}_{1}=0$，因此2y1(x)也是微分方程的解。命题（1）正确。
步骤 2：验证命题（2）
将y1(x)和${y}_{2}(x)$代入微分方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0中，得到
${y}_{1}^{11}+P(x){y}_{1}^{1}+Q(x){y}_{1}=0$
${y}_{2}^{11}+P(x){y}_{2}^{1}+Q(x){y}_{2}=0$
将这两个方程相加，得到
${y}_{1}^{11}+P(x){y}_{1}^{1}+Q(x){y}_{1}+{y}_{2}^{11}+P(x){y}_{2}^{1}+Q(x){y}_{2}$
$=({y}_{1}^{11}+{y}_{2}^{11})+P(x)({y}_{1}^{1}+{y}_{2}^{1})+Q(x)({y}_{1}+{y}_{2})$
$=0$
因此${y}_{1}(x)+{y}_{2}(x)$也是微分方程的解。命题（2）正确。
步骤 3：验证命题（3）
与命题（1）同理，可以得到${C}_{1}{y}_{1}(x)$和${C}_{2}{y}_{2}(x)$都是微分方程的解。因此，与命题（2）同理，可以得到${C}_{1}{y}_{1}(x)+{C}_{2}{y}_{2}(x)$也是微分方程的解。命题（3）正确。
步骤 4：验证命题（4）
若y1(x)与${y}_{2}(x)$是微分方程的两个不同解，并且y1(x)与${y}_{2}(x)$线性无关，则有${C}_{1}{y}_{1}(x)+{C}_{2}{y}_{2}(x)$是微分方程的通解。但是，题目中没有给出y1(x)与${y}_{2}(x)$线性无关的条件，因此${C}_{1}{y}_{1}(x)+{C}_{2}{y}_{2}(x)$不一定是微分方程的通解。命题（4）不正确。
将2y1(x)代入微分方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0中，得到
$2{y}_{1}^{11}+2P(x){y}_{1}^{1}+2Q(x){y}_{1}$
$=2[ {y}_{1}^{11}+P(x){y}_{1}^{1}+Q(x){y}_{1}] =0$
由于y1(x)是微分方程的解，所以${y}_{1}^{11}+P(x){y}_{1}^{1}+Q(x){y}_{1}=0$，因此2y1(x)也是微分方程的解。命题（1）正确。
步骤 2：验证命题（2）
将y1(x)和${y}_{2}(x)$代入微分方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0中，得到
${y}_{1}^{11}+P(x){y}_{1}^{1}+Q(x){y}_{1}=0$
${y}_{2}^{11}+P(x){y}_{2}^{1}+Q(x){y}_{2}=0$
将这两个方程相加，得到
${y}_{1}^{11}+P(x){y}_{1}^{1}+Q(x){y}_{1}+{y}_{2}^{11}+P(x){y}_{2}^{1}+Q(x){y}_{2}$
$=({y}_{1}^{11}+{y}_{2}^{11})+P(x)({y}_{1}^{1}+{y}_{2}^{1})+Q(x)({y}_{1}+{y}_{2})$
$=0$
因此${y}_{1}(x)+{y}_{2}(x)$也是微分方程的解。命题（2）正确。
步骤 3：验证命题（3）
与命题（1）同理，可以得到${C}_{1}{y}_{1}(x)$和${C}_{2}{y}_{2}(x)$都是微分方程的解。因此，与命题（2）同理，可以得到${C}_{1}{y}_{1}(x)+{C}_{2}{y}_{2}(x)$也是微分方程的解。命题（3）正确。
步骤 4：验证命题（4）
若y1(x)与${y}_{2}(x)$是微分方程的两个不同解，并且y1(x)与${y}_{2}(x)$线性无关，则有${C}_{1}{y}_{1}(x)+{C}_{2}{y}_{2}(x)$是微分方程的通解。但是，题目中没有给出y1(x)与${y}_{2}(x)$线性无关的条件，因此${C}_{1}{y}_{1}(x)+{C}_{2}{y}_{2}(x)$不一定是微分方程的通解。命题（4）不正确。