题目

43、当x→0时，e^2x^(2)-cos x^2是x的n阶无穷小，则n=____

43、当x→0时，$e^{2x^{2}}-\cos x^{2}$是x的n阶无穷小，则n=____

题目解答

答案

为了确定当 $ x \to 0 $ 时， $ e^{2x^2} - \cos x^2 $ 是 $ x $ 的 $ n $ 阶无穷小，我们需要分析 $ e^{2x^2} - \cos x^2 $ 在 $ x \to 0 $ 时的 behavior。我们可以通过使用 $ e^u $ 和 $ \cos u $ 的泰勒展开式来实现这一点。 首先，考虑 $ e^{2x^2} $ 的泰勒展开式。对于 $ e^u $，其泰勒展开式为： \[ e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \cdots \] 将 $ u = 2x^2 $ 代入，得到： \[ e^{2x^2} = 1 + 2x^2 + \frac{(2x^2)^2}{2!} + \frac{(2x^2)^3}{3!} + \cdots = 1 + 2x^2 + 2x^4 + \frac{4x^6}{3} + \cdots \] 接下来，考虑 $ \cos x^2 $ 的泰勒展开式。对于 $ \cos u $，其泰勒展开式为： \[ \cos u = 1 - \frac{u^2}{2!} + \frac{u^4}{4!} - \frac{u^6}{6!} + \cdots \] 将 $ u = x^2 $ 代入，得到： \[ \cos x^2 = 1 - \frac{(x^2)^2}{2!} + \frac{(x^2)^4}{4!} - \frac{(x^2)^6}{6!} + \cdots = 1 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^8}{24} - \frac{x^{12}}{720} + \cdots \] 现在，我们从 $ e^{2x^2} $ 和 $ \cos x^2 $ 的泰勒展开式中减去： \[ e^{2x^2} - \cos x^2 = \left(1 + 2x^2 + 2x^4 + \frac{4x^6}{3} + \cdots \right) - \left(1 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^8}{24} - \cdots \right) \] \[ = 2x^2 + 2x^4 + \frac{x^4}{2} + \frac{4x^6}{3} + \cdots \] \[ = 2x^2 + \frac{5x^4}{2} + \frac{4x^6}{3} + \cdots \] 从展开式中，我们可以看到，当 $ x \to 0 $ 时， $ e^{2x^2} - \cos x^2 $ 的最低阶项是 $ 2x^2 $，因此 $ e^{2x^2} - \cos x^2 $ 是 $ x $ 的2阶无穷小。 因此， $ n $ 的值是 $\boxed{2}$。

解析

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开式分析函数在无穷小量阶数的能力，需要掌握常见函数（如指数函数、三角函数）的泰勒展开方法，并能通过展开式确定差值的主部项。

解题核心思路：

  1. 泰勒展开：将 $e^{2x^2}$ 和 $\cos x^2$ 分别展开到足够多的项，确保能比较两者的差值。
  2. 合并同类项：通过展开式的相减，找到差值中的最低阶项，该阶数即为所求的 $n$。
  3. 关键点：正确展开并识别主部项，避免遗漏或计算错误。

步骤1：展开 $e^{2x^2}$

利用泰勒公式 $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \cdots$，令 $u = 2x^2$，得：
$\begin{aligned}e^{2x^2} &= 1 + 2x^2 + \frac{(2x^2)^2}{2!} + \frac{(2x^2)^3}{3!} + \cdots \\&= 1 + 2x^2 + 2x^4 + \frac{4x^6}{3} + \cdots\end{aligned}$

步骤2：展开 $\cos x^2$

利用泰勒公式 $\cos u = 1 - \frac{u^2}{2!} + \frac{u^4}{4!} - \cdots$，令 $u = x^2$，得：
$\begin{aligned}\cos x^2 &= 1 - \frac{(x^2)^2}{2!} + \frac{(x^2)^4}{4!} - \cdots \\&= 1 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^8}{24} - \cdots\end{aligned}$

步骤3：计算差值

将两展开式相减：
$\begin{aligned}e^{2x^2} - \cos x^2 &= \left(1 + 2x^2 + 2x^4 + \frac{4x^6}{3} + \cdots \right) - \left(1 - \frac{x^4}{2} + \cdots \right) \\&= 2x^2 + \left(2x^4 + \frac{x^4}{2}\right) + \frac{4x^6}{3} + \cdots \\&= 2x^2 + \frac{5x^4}{2} + \frac{4x^6}{3} + \cdots\end{aligned}$

步骤4：确定主部项

差值的最低阶项为 $2x^2$，因此 $e^{2x^2} - \cos x^2$ 的主部是 $x^2$，即 $n = 2$。