21.（2.0分）曲线{}x=tcosty=tsint.在t=(pi)/(2)处的法线方程为____.A. y=(pi)/(2)(1-x)B. y=(pi)/(2)+(2)/(pi)xC. y=(pi)/(2)(1+x)D. y=(pi)/(2)-(2)/(pi)x

考查要点：本题主要考查参数方程求导、切线与法线方程的求解方法。

解题思路：

1. 参数方程求导：利用参数方程求导公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$，计算曲线在 $t = \frac{\pi}{2}$ 处的切线斜率。
2. 法线斜率：法线斜率为切线斜率的负倒数。
3. 点坐标计算：代入 $t = \frac{\pi}{2}$ 求出曲线上的点 $(x, y)$。
4. 方程建立：用点斜式方程写出法线方程，整理后与选项匹配。

关键点：

• 正确计算导数，注意乘积法则的应用。
• 代入特殊角的三角函数值简化计算。
• 区分切线与法线斜率的关系。

1. 计算导数 $\frac{dy}{dx}$

参数方程：
$\begin{cases}x = t \cos t \\y = t \sin t\end{cases}$

求导：

• $\frac{dx}{dt} = \cos t - t \sin t$
  （乘积法则：$\frac{d}{dt}(t \cos t) = \cos t - t \sin t$）
• $\frac{dy}{dt} = \sin t + t \cos t$
  （乘积法则：$\frac{d}{dt}(t \sin t) = \sin t + t \cos t$）

切线斜率：
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\sin t + t \cos t}{\cos t - t \sin t}$

2. 代入 $t = \frac{\pi}{2}$

计算导数值：

• $\cos \frac{\pi}{2} = 0$，$\sin \frac{\pi}{2} = 1$
• $\frac{dx}{dt} = 0 - \frac{\pi}{2} \cdot 1 = -\frac{\pi}{2}$
• $\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{\pi}{2} \cdot 0 = 1$
• $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{-\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}$

法线斜率：
$k_{\text{法线}} = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{\pi}{2}$

3. 求曲线上的点

代入 $t = \frac{\pi}{2}$：

• $x = \frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{2} = 0$
• $y = \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

点坐标：$(0, \frac{\pi}{2})$

4. 写法线方程

点斜式：
$y - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}(x - 0)$

整理：
$y = \frac{\pi}{2}x + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}(x + 1)$

对应选项：C