叙设 lim _(xarrow infty )dfrac ((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5))({(3x-2))^n}=beta 则α,β的数值为-|||-(a) alpha =1, =dfrac (1)(3)-|||-(b) =5, =dfrac (1)(3)-|||-(c) =5, beta =dfrac (1)({3)^5}-|||-(d) 均不对

考查要点：本题主要考查多项式展开的最高次项系数与极限求解的能力，需要学生掌握无穷大极限的比较法则。

解题核心思路：

1. 确定分子和分母的最高次数：分子为五次多项式，分母为$(3x)^\alpha$的展开形式，最高次数为$\alpha$。
2. 极限存在的条件：当分子和分母的最高次数相等时，极限值为常数，否则极限为$0$或无穷大。
3. 系数比值计算：当次数相等时，极限值为分子最高次项系数与分母最高次项系数的比值。

破题关键点：

• 分子最高次数为5，因此分母次数$\alpha$必须等于5才能使极限为常数。
• 分子最高次项系数为1，分母最高次项系数为$3^\alpha$，代入$\alpha=5$后得到$\beta = \dfrac{1}{3^5}$。

步骤1：展开分子多项式

分子$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$是五个一次因式的乘积，展开后最高次项为$x^5$，其系数为$1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$。

步骤2：分析分母形式

分母$(3x-2)^\alpha$展开后，最高次项为$(3x)^\alpha$，其系数为$3^\alpha$。

步骤3：极限存在的条件

当$x \to \infty$时，若分子和分母的最高次数相等（即$\alpha = 5$），极限值为常数：
$\beta = \dfrac{\text{分子最高次项系数}}{\text{分母最高次项系数}} = \dfrac{1}{3^5} = \dfrac{1}{243}.$

步骤4：验证选项

• 选项(b)中$\alpha=5$但$\beta=\dfrac{1}{3}$，错误。
• 选项(c)中$\alpha=5$且$\beta=\dfrac{1}{3^5}$，正确。