求极限lim _(narrow infty )(dfrac (n)({n)^2+1}+dfrac (n)({n)^2+2}+... +dfrac (n)({n)^2+n})

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是利用夹逼定理处理求和形式的极限问题。

解题核心思路：

1. 观察通项结构：每一项的形式为$\dfrac{n}{n^2 + i}$，其中分母随$i$变化而变化。
2. 确定上下界：通过比较分母的大小，找到每个通项的上下界，进而对整个和式进行放缩。
3. 应用夹逼定理：通过计算上下界的极限，证明原极限存在且等于同一值。

破题关键点：

• 分母的极值分析：当$i$从$1$到$n$时，分母$n^2 + i$的最小值为$n^2 + 1$，最大值为$n^2 + n$。
• 和式的放缩技巧：将和式分别用最小项和最大项乘以项数$n$，得到上下界。

步骤1：确定通项的上下界
对于每个$i$（$1 \leq i \leq n$），分母$n^2 + i$满足：
$n^2 + 1 \leq n^2 + i \leq n^2 + n$
因此，通项$\dfrac{n}{n^2 + i}$满足：
$\dfrac{n}{n^2 + n} \leq \dfrac{n}{n^2 + i} \leq \dfrac{n}{n^2 + 1}$

步骤2：对和式进行放缩
将上述不等式对$i$从$1$到$n$求和，得到：
$\sum_{i=1}^{n} \dfrac{n}{n^2 + n} \leq \sum_{i=1}^{n} \dfrac{n}{n^2 + i} \leq \sum_{i=1}^{n} \dfrac{n}{n^2 + 1}$
即：
$\dfrac{n^2}{n^2 + n} \leq S_n \leq \dfrac{n^2}{n^2 + 1}$
其中$S_n = \dfrac{n}{n^2 + 1} + \dfrac{n}{n^2 + 2} + \cdots + \dfrac{n}{n^2 + n}$。

步骤3：计算上下界的极限

• 下界：
  $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2}{n^2 + n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{n}} = 1$
• 上界：
  $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{n^2}} = 1$

步骤4：应用夹逼定理
由于上下界的极限均为$1$，根据夹逼定理，原极限为：
$\lim_{n \to \infty} S_n = 1$