“sin^2alpha+sin^2beta=1”是“sinalpha+cosbeta=0”的（ ）。A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件

本题考查充分条件、必要条件的判断以及三角函数的基本关系。解题的关键在于分别判断“$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1$”能否推出“$\sin\alpha+\cos\beta=0$”以及“$\sin\alpha+\cos\beta=0$”能否推出“$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1$”。

1. 判断充分性

充分性是指由“$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1$”能否推出“$\sin\alpha+\cos\beta=0$”。
已知$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1$，根据三角函数的平方关系$\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1$，可得$\sin^2\alpha=\cos^2\beta$，即$\sin\alpha=\pm\cos\beta$。
当$\sin\alpha=\cos\beta$时，并不一定满足$\sin\alpha+\cos\beta=0$，例如$\alpha = \beta = 0$，此时$\sin^20+\sin^20=0\neq1$，若$\alpha = 0$，$\beta=\frac{\pi}{2}$，$\sin^20+\sin^2\frac{\pi}{2}=0 + 1 = 1$，但$\sin0+\cos\frac{\pi}{2}=0 + 0 = 0$不成立，所以由“$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1$”不能推出“$\sin\alpha+\cos\beta=0$”，充分性不成立。

2. 判断必要性

必要性是指由“$\sin\alpha+\cos\beta=0$”能否推出“$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1$”。
若$\sin\alpha+\cos\beta=0$，则$\sin\alpha=-\cos\beta$。
将$\sin\alpha=-\cos\beta$两边同时平方可得$\sin^2\alpha=\cos^2\beta$。
根据三角函数的平方关系$\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta$，所以$\sin^2\alpha=1 - \sin^2\beta$，移项可得$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1$，即由“$\sin\alpha+\cos\beta=0$”可以推出“$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1$”，必要性成立。

综上，“$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1$”是“$\sin\alpha+\cos\beta=0$”的必要非充分条件。