题目
8.(8分)计算曲面积分iintlimits_(Sigma)(x^3+z^2)dydz+(y^3+x^2)dxdz+(z^3+y^2)dxdy，其中■为曲面z=sqrt(1-x^2)-y^(2)的上侧.
8.(8分)计算曲面积分$\iint\limits_{\Sigma}(x^{3}+z^{2})dydz+(y^{3}+x^{2})dxdz+(z^{3}+y^{2})dxdy$，其中■为曲面$z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$的上侧.
题目解答
答案
添加平面 $S_1: z=0$（下侧）与 $\Sigma$ 构成闭合曲面，利用高斯公式：
\[
\iint\limits_{\Sigma + S_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \iiint\limits_{V} 3(x^2 + y^2 + z^2) \, dV
\]
计算三重积分（球坐标）：
\[
3 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \rho^4 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta = \frac{6\pi}{5}
\]
计算 $S_1$ 上通量（下侧）：
\[
\iint\limits_{S_1} -y^2 \, dx \, dy = -\frac{\pi}{4}
\]
原曲面积分：
\[
\frac{6\pi}{5} - \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \boxed{\frac{29\pi}{20}}
\]