题目
[题目]求解齐次线性方程组:-|||- ) (x)_(1)+2(x)_(2)+2(x)_(3)+(x)_(4)=0 2(x)_(1)+(x)_(2)-2(x)_(3)-2(x)_(4)=0 (x)_(1)-(x)_(2)-4(x)_(3)- .
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出系数矩阵
系数矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -4 & -2 \end{pmatrix}$。
步骤 2：将系数矩阵化为行最简形
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，得到行最简形矩阵。首先，将第一行乘以2，减去第二行，得到新的第二行；将第一行减去第三行，得到新的第三行。然后，将第二行乘以2，加上第三行，得到新的第三行。最后，将第二行除以3，得到新的第二行。变换过程如下：
$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -4 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -4 \\ 0 & -3 & -6 & -3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
$$
步骤 3：求解方程组
从行最简形矩阵中，我们可以看出方程组的解。由于第三行表示 $x_4 = 0$，我们可以将 $x_4$ 置为0。然后，从第二行中解出 $x_2$，从第一行中解出 $x_1$。令 $x_3 = k$，则有：
$$
x_2 = -2k - \frac{4}{3}x_4 = -2k
$$
$$
x_1 = -2x_2 - 2x_3 - x_4 = 4k - 2k = 2k
$$
系数矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -4 & -2 \end{pmatrix}$。
步骤 2：将系数矩阵化为行最简形
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，得到行最简形矩阵。首先，将第一行乘以2，减去第二行，得到新的第二行；将第一行减去第三行，得到新的第三行。然后，将第二行乘以2，加上第三行，得到新的第三行。最后，将第二行除以3，得到新的第二行。变换过程如下：
$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -4 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -4 \\ 0 & -3 & -6 & -3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
$$
步骤 3：求解方程组
从行最简形矩阵中，我们可以看出方程组的解。由于第三行表示 $x_4 = 0$，我们可以将 $x_4$ 置为0。然后，从第二行中解出 $x_2$，从第一行中解出 $x_1$。令 $x_3 = k$，则有：
$$
x_2 = -2k - \frac{4}{3}x_4 = -2k
$$
$$
x_1 = -2x_2 - 2x_3 - x_4 = 4k - 2k = 2k
$$