题目
8.计算下列极限:-|||-(5) lim _(xarrow infty )((dfrac {x-1)(x+1))}^2x.
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简极限表达式
首先，我们观察到极限表达式 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x-1}{x+1})}^{2x}$，可以将其重写为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x+1-2}{x+1})}^{2x} = \lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x+1}{x+1}-\dfrac {2}{x+1})}^{2x} = \lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {2}{x+1})}^{2x}$。
步骤 2：利用重要极限公式
我们知道重要极限公式 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x})}^{x} = e$，因此，我们可以将原极限表达式转化为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {2}{x+1})}^{2x} = \lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {2}{x+1})}^{(x+1)\cdot \dfrac {2x}{x+1}}$。这里，我们利用了指数的性质，将指数 $2x$ 分解为 $(x+1)\cdot \dfrac {2x}{x+1}$。
步骤 3：应用重要极限公式
根据重要极限公式，我们有 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {2}{x+1})}^{(x+1)} = e^{-2}$。因此，原极限表达式可以进一步简化为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {2}{x+1})}^{(x+1)\cdot \dfrac {2x}{x+1}} = e^{-2\cdot \lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x}{x+1}}$。由于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x}{x+1} = 2$，所以原极限表达式等于 $e^{-2\cdot 2} = e^{-4}$。
首先，我们观察到极限表达式 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x-1}{x+1})}^{2x}$，可以将其重写为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x+1-2}{x+1})}^{2x} = \lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x+1}{x+1}-\dfrac {2}{x+1})}^{2x} = \lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {2}{x+1})}^{2x}$。
步骤 2：利用重要极限公式
我们知道重要极限公式 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{x})}^{x} = e$，因此，我们可以将原极限表达式转化为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {2}{x+1})}^{2x} = \lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {2}{x+1})}^{(x+1)\cdot \dfrac {2x}{x+1}}$。这里，我们利用了指数的性质，将指数 $2x$ 分解为 $(x+1)\cdot \dfrac {2x}{x+1}$。
步骤 3：应用重要极限公式
根据重要极限公式，我们有 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {2}{x+1})}^{(x+1)} = e^{-2}$。因此，原极限表达式可以进一步简化为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {2}{x+1})}^{(x+1)\cdot \dfrac {2x}{x+1}} = e^{-2\cdot \lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x}{x+1}}$。由于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x}{x+1} = 2$，所以原极限表达式等于 $e^{-2\cdot 2} = e^{-4}$。