1.5 将圆周方程 ((x)^2+(y)^2)+bx+cy+d=0 (aneq 0) 写成复数形式(即用z-|||-与z来表示,其中 =x+iy).

考查要点：本题主要考查将圆的一般方程转化为复数形式的能力，需要理解复数与平面坐标的关系，以及如何利用复数及其共轭表示几何图形。

解题核心思路：

1. 复数与坐标系的对应：复数$z = x + iy$对应平面上的点$(x, y)$，其共轭复数$\overline{z} = x - iy$。
2. 模长平方的表示：$z\overline{z} = x^2 + y^2$，可替代原方程中的$x^2 + y^2$项。
3. 线性项的复数表示：通过构造复数$B = b + ic$，利用$B\overline{z} + \overline{B}z$表示$bx + cy$，并提取其实部。
4. 方程整体调整：通过系数调整，将原方程转化为标准复数形式。

破题关键点：

• 识别$x^2 + y^2$的复数形式：直接对应$z\overline{z}$。
• 构造复数$B$：将$bx + cy$转化为$B\overline{z} + \overline{B}z$，其中$B = b + ic$。
• 系数匹配：通过方程两边乘以2，统一各项系数，得到最终形式。

将原方程$a(x^2 + y^2) + bx + cy + d = 0$逐步转换为复数形式：

步骤1：处理$x^2 + y^2$项

利用$z\overline{z} = x^2 + y^2$，原方程中的$a(x^2 + y^2)$可表示为：
$a \cdot z\overline{z}$
根据题目答案，需引入系数$A = 2a$，因此调整为：
$A \cdot z\overline{z} \quad \text{其中} \quad A = 2a$

步骤2：处理线性项$bx + cy$

构造复数$B = b + ic$，其共轭为$\overline{B} = b - ic$。通过计算：
$B\overline{z} + \overline{B}z = (b + ic)(x - iy) + (b - ic)(x + iy)$
展开后虚部抵消，实部为：
$2bx + 2cy \quad \Rightarrow \quad bx + cy = \frac{B\overline{z} + \overline{B}z}{2}$
为匹配原方程，需将系数调整为1，因此整体方程乘以2。

步骤3：整合常数项

原方程中的常数项$d$对应复数形式中的$C$，根据题目答案需令$C = 2d$，因此调整为：
$C \quad \text{其中} \quad C = 2d$

步骤4：组合所有项

将调整后的各项代入原方程并整理：
$2a \cdot z\overline{z} + (B\overline{z} + \overline{B}z) + 2d = 0$
即：
$Az\overline{z} + \overline{B}z + B\overline{z} + C = 0$
其中$A = 2a$，$C = 2d$，$B = b + ic$。