题目
在摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)上求分摆线第一拱成1: 3的点的坐标.
在摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)上求分摆线第一拱成1: 3的点的坐标.
题目解答
答案
解 设t从0变化到t0时摆线第一拱上对应的弧长为s(t0), 则
.
当t0=2π时, 得第一拱弧长s(2π)=8a. 为求分摆线第一拱为1: 3的点为A(x, y), 令
,
得
, 因而分点的坐标为:
横坐标
,
纵坐标
,
故所求分点的坐标为
.
解析
步骤 1：计算摆线第一拱的弧长
摆线第一拱的弧长可以通过积分计算。摆线的参数方程为$x=a(t-\sin t)$和$y=a(1-\cos t)$。摆线第一拱对应于参数t从0变化到$2\pi$。摆线的弧长公式为$s(t)={\int }_{0}^{t}\sqrt {{x}^{\prime }{(t)}^{2}+{y}^{\prime }{(t)}^{2}}dt$。其中，$x^{\prime}(t)=a(1-\cos t)$，$y^{\prime}(t)=a\sin t$。将$x^{\prime}(t)$和$y^{\prime}(t)$代入弧长公式，得到摆线第一拱的弧长为$s(2\pi)=4a(1-\cos \dfrac {2\pi }{2})=8a$。
步骤 2：确定分摆线第一拱成1:3的点的参数值
分摆线第一拱成1:3的点的参数值可以通过将第一拱的弧长分成1:3的比例来确定。设分点的参数值为$t_0$，则有$4a(1-\cos \dfrac {{t}_{0}}{2})=2a$。解得${t}_{0}=\dfrac {2\pi }{3}$。
步骤 3：计算分点的坐标
将分点的参数值$t_0=\dfrac {2\pi }{3}$代入摆线的参数方程，得到分点的坐标。横坐标$x=a(\dfrac {2\pi }{3}-\sin \dfrac {2\pi }{3})=(\dfrac {2\pi }{3}-\dfrac {\sqrt {3}}{2})a$，纵坐标$y=a(1-\cos \dfrac {2\pi }{3})=\dfrac {3}{2}a$。
摆线第一拱的弧长可以通过积分计算。摆线的参数方程为$x=a(t-\sin t)$和$y=a(1-\cos t)$。摆线第一拱对应于参数t从0变化到$2\pi$。摆线的弧长公式为$s(t)={\int }_{0}^{t}\sqrt {{x}^{\prime }{(t)}^{2}+{y}^{\prime }{(t)}^{2}}dt$。其中，$x^{\prime}(t)=a(1-\cos t)$，$y^{\prime}(t)=a\sin t$。将$x^{\prime}(t)$和$y^{\prime}(t)$代入弧长公式，得到摆线第一拱的弧长为$s(2\pi)=4a(1-\cos \dfrac {2\pi }{2})=8a$。
步骤 2：确定分摆线第一拱成1:3的点的参数值
分摆线第一拱成1:3的点的参数值可以通过将第一拱的弧长分成1:3的比例来确定。设分点的参数值为$t_0$，则有$4a(1-\cos \dfrac {{t}_{0}}{2})=2a$。解得${t}_{0}=\dfrac {2\pi }{3}$。
步骤 3：计算分点的坐标
将分点的参数值$t_0=\dfrac {2\pi }{3}$代入摆线的参数方程，得到分点的坐标。横坐标$x=a(\dfrac {2\pi }{3}-\sin \dfrac {2\pi }{3})=(\dfrac {2\pi }{3}-\dfrac {\sqrt {3}}{2})a$，纵坐标$y=a(1-\cos \dfrac {2\pi }{3})=\dfrac {3}{2}a$。