题目
18.求不定积分∫arcsin xdx
题目解答
答案
∫arcsin xdx(分部积分法) =xarcsinx-积分:xd(arcsinx) =xarcsinx-积分:x/根号(1-x^2)dx =xarcsinx+1/2积分:d(1-x^2)/根号(1-x^2) =xarcsinx+1/2*2根号(1-x^2)+C =xarcsinx+根号(1-x^2)+C (C为常数)
解析
步骤 1：确定积分方法
使用分部积分法，因为arcsin x是一个可以容易求导的函数，而dx可以看作是1dx，其积分容易求得。
步骤 2：应用分部积分法
设u = arcsin x，dv = dx，则du = 1/√(1-x^2)dx，v = x。
根据分部积分公式∫udv = uv - ∫vdu，我们有：
∫arcsin xdx = xarcsin x - ∫x/√(1-x^2)dx。
步骤 3：求解剩余积分
对于剩余的积分∫x/√(1-x^2)dx，我们使用换元法。设t = 1-x^2，则dt = -2xdx，即xdx = -1/2dt。
代入后得到：
∫x/√(1-x^2)dx = -1/2∫1/√t dt = -1/2 * 2√t + C = -√(1-x^2) + C。
步骤 4：组合结果
将步骤3的结果代入步骤2的表达式中，得到：
∫arcsin xdx = xarcsin x - (-√(1-x^2)) + C = xarcsin x + √(1-x^2) + C。
使用分部积分法，因为arcsin x是一个可以容易求导的函数，而dx可以看作是1dx，其积分容易求得。
步骤 2：应用分部积分法
设u = arcsin x，dv = dx，则du = 1/√(1-x^2)dx，v = x。
根据分部积分公式∫udv = uv - ∫vdu，我们有：
∫arcsin xdx = xarcsin x - ∫x/√(1-x^2)dx。
步骤 3：求解剩余积分
对于剩余的积分∫x/√(1-x^2)dx，我们使用换元法。设t = 1-x^2，则dt = -2xdx，即xdx = -1/2dt。
代入后得到：
∫x/√(1-x^2)dx = -1/2∫1/√t dt = -1/2 * 2√t + C = -√(1-x^2) + C。
步骤 4：组合结果
将步骤3的结果代入步骤2的表达式中，得到：
∫arcsin xdx = xarcsin x - (-√(1-x^2)) + C = xarcsin x + √(1-x^2) + C。