题目
10.判断题-|||-二元函数-|||-.f(x,y)= ^2+{y)^2}}(x,y)neq (0,0) 0,(x,y)=(0,0) .-|||-点(0.0)处可微。-|||-A 对-|||-B 错
题目解答
答案
：由题意可知，$f(x,y)=$ $({x}^{2}+{y}^{2})\sin \dfrac {1}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$ $(x,y)\neq (0,0)$ 在$0:(x,y)=(0,0)$点(0,0)处连续，
$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，
且$\lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x\to 0} \frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}$
$=\lim_{x\to 0} x\sin\frac{1}{x}$
$=0$
$\lim_{y\to 0} \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\lim_{y\to 0} \frac{y^2\sin\frac{1}{y}}{y}$
$=\lim_{y\to 0} y\sin\frac{1}{y}$
$=0$
所以$f(x,y)$在$(0,0)$处可微。
A
$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，
且$\lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x\to 0} \frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}$
$=\lim_{x\to 0} x\sin\frac{1}{x}$
$=0$
$\lim_{y\to 0} \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\lim_{y\to 0} \frac{y^2\sin\frac{1}{y}}{y}$
$=\lim_{y\to 0} y\sin\frac{1}{y}$
$=0$
所以$f(x,y)$在$(0,0)$处可微。
A
解析
步骤 1：判断函数在点(0,0)处的连续性
函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处的定义为$f(0,0)=0$，当$(x,y)\neq(0,0)$时，$f(x,y)=({x}^{2}+{y}^{2})\sin \dfrac {1}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$。由于$\sin \dfrac {1}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$是有界函数，且$({x}^{2}+{y}^{2})$在$(0,0)$处趋于0，因此$f(x,y)$在$(0,0)$处连续。
步骤 2：计算偏导数$f_x(0,0)$和$f_y(0,0)$
$f_x(0,0)=\lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x\to 0} \frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to 0} x\sin\frac{1}{x}=0$
$f_y(0,0)=\lim_{y\to 0} \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\lim_{y\to 0} \frac{y^2\sin\frac{1}{y}}{y}=\lim_{y\to 0} y\sin\frac{1}{y}=0$
步骤 3：判断函数在点(0,0)处的可微性
由于$f(x,y)$在$(0,0)$处连续，且$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，因此$f(x,y)$在$(0,0)$处可微。
函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处的定义为$f(0,0)=0$，当$(x,y)\neq(0,0)$时，$f(x,y)=({x}^{2}+{y}^{2})\sin \dfrac {1}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$。由于$\sin \dfrac {1}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$是有界函数，且$({x}^{2}+{y}^{2})$在$(0,0)$处趋于0，因此$f(x,y)$在$(0,0)$处连续。
步骤 2：计算偏导数$f_x(0,0)$和$f_y(0,0)$
$f_x(0,0)=\lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x\to 0} \frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to 0} x\sin\frac{1}{x}=0$
$f_y(0,0)=\lim_{y\to 0} \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\lim_{y\to 0} \frac{y^2\sin\frac{1}{y}}{y}=\lim_{y\to 0} y\sin\frac{1}{y}=0$
步骤 3：判断函数在点(0,0)处的可微性
由于$f(x,y)$在$(0,0)$处连续，且$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，因此$f(x,y)$在$(0,0)$处可微。