题目
为防止意外，某矿内同时设有甲、乙两种报警系统，每种系统单独使用时，有效的概率分别为0.92和0.93。在甲系统失灵的条件下，乙系统仍然有效的概率为0.85。(1)发生意外时，两个系统至少有一个有效的概率；(2)在乙失灵的条件下，甲仍然有效的概率。
为防止意外，某矿内同时设有甲、乙两种报警系统，每种系统单独使用时，有效的概率分别为0.92和0.93。在甲系统失灵的条件下，乙系统仍然有效的概率为0.85。
(1)发生意外时，两个系统至少有一个有效的概率；
(2)在乙失灵的条件下，甲仍然有效的概率。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算甲系统失灵时乙系统有效的概率
根据条件概率公式，$P(B|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}$，其中$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.92 = 0.08$，$P(B|\overline{A}) = 0.85$，所以$P(\overline{A}B) = P(\overline{A}) \times P(B|\overline{A}) = 0.08 \times 0.85 = 0.068$。
步骤 2：计算两个系统同时有效的概率
$P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B)$，其中$P(B) = 0.93$，$P(\overline{A}B) = 0.068$，所以$P(AB) = P(B) - P(\overline{A}B) = 0.93 - 0.068 = 0.862$。
步骤 3：计算两个系统至少有一个有效的概率
$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.92 + 0.93 - 0.862 = 0.988$。
步骤 4：计算乙系统失灵时甲系统有效的概率
$P(A) = P(AB) + P(A\overline{B})$，其中$P(A) = 0.92$，$P(AB) = 0.862$，所以$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) = 0.92 - 0.862 = 0.058$。$P(A|\overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{0.058}{1 - 0.93} = \frac{0.058}{0.07} \approx 0.829$。
根据条件概率公式，$P(B|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}$，其中$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.92 = 0.08$，$P(B|\overline{A}) = 0.85$，所以$P(\overline{A}B) = P(\overline{A}) \times P(B|\overline{A}) = 0.08 \times 0.85 = 0.068$。
步骤 2：计算两个系统同时有效的概率
$P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B)$，其中$P(B) = 0.93$，$P(\overline{A}B) = 0.068$，所以$P(AB) = P(B) - P(\overline{A}B) = 0.93 - 0.068 = 0.862$。
步骤 3：计算两个系统至少有一个有效的概率
$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.92 + 0.93 - 0.862 = 0.988$。
步骤 4：计算乙系统失灵时甲系统有效的概率
$P(A) = P(AB) + P(A\overline{B})$，其中$P(A) = 0.92$，$P(AB) = 0.862$，所以$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) = 0.92 - 0.862 = 0.058$。$P(A|\overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{0.058}{1 - 0.93} = \frac{0.058}{0.07} \approx 0.829$。