根据数列极限的定义证明：lim _(narrow infty )dfrac (3n+1)(2n+1)=dfrac (3)(2);

考查要点：本题主要考查利用数列极限的定义进行证明的能力，需要掌握代数化简和不等式放缩的技巧，理解如何根据给定的$\varepsilon$找到对应的$N$。

解题核心思路：

1. 根据极限定义，将$\left|\dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2}\right|$化简为与$n$相关的表达式。
2. 构造不等式，通过解不等式找到$n$的范围，从而确定$N$的取值。
3. 验证存在性，说明存在这样的$N$使得当$n > N$时不等式成立。

破题关键点：

• 分子化简：通过通分消去分子中的高阶项，得到与$n$相关的简单表达式。
• 不等式变形：将分式不等式转化为关于$n$的一次不等式，确定$N$的表达式。

步骤1：计算表达式差值
根据题意，计算$\left|\dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2}\right|$：
$\begin{aligned}\left|\dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2}\right| &= \left|\dfrac{2(3n+1) - 3(2n+1)}{2(2n+1)}\right| \\&= \left|\dfrac{6n + 2 - 6n - 3}{4n + 2}\right| \\&= \left|\dfrac{-1}{4n + 2}\right| \\&= \dfrac{1}{4n + 2}.\end{aligned}$

步骤2：构造不等式
要求$\dfrac{1}{4n + 2} < \varepsilon$，解得：
$4n + 2 > \dfrac{1}{\varepsilon} \implies n > \dfrac{1}{4\varepsilon} - \dfrac{1}{2}.$

步骤3：确定$N$的取值
取正整数$N$满足：
$N \geq \dfrac{1}{4\varepsilon} - \dfrac{1}{2}.$
当$n > N$时，必然有$n > \dfrac{1}{4\varepsilon} - \dfrac{1}{2}$，从而$\dfrac{1}{4n + 2} < \varepsilon$。