根据数列极限的定义证明：lim _(narrow infty )dfrac (3n+1)(2n+1)=dfrac (3)(2);

步骤 1：确定目标
根据数列极限的定义，我们需要证明对于任意的正数$\epsilon$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$\left|\dfrac{3n+1}{2n+1}-\dfrac{3}{2}\right|<\epsilon$。

步骤 2：化简表达式
化简$\left|\dfrac{3n+1}{2n+1}-\dfrac{3}{2}\right|$：
\[
\left|\dfrac{3n+1}{2n+1}-\dfrac{3}{2}\right| = \left|\dfrac{2(3n+1)-3(2n+1)}{2(2n+1)}\right| = \left|\dfrac{6n+2-6n-3}{4n+2}\right| = \left|\dfrac{-1}{4n+2}\right| = \dfrac{1}{4n+2}
\]

步骤 3：找到$N$
我们需要找到一个$N$，使得当$n>N$时，$\dfrac{1}{4n+2}<\epsilon$。解不等式$\dfrac{1}{4n+2}<\epsilon$：
\[
\dfrac{1}{4n+2}<\epsilon \Rightarrow 4n+2>\dfrac{1}{\epsilon} \Rightarrow 4n>\dfrac{1}{\epsilon}-2 \Rightarrow n>\dfrac{1}{4\epsilon}-\dfrac{1}{2}
\]
因此，我们可以选择$N=\left\lceil\dfrac{1}{4\epsilon}-\dfrac{1}{2}\right\rceil$，其中$\left\lceil x \right\rceil$表示不小于$x$的最小整数。

步骤 4：验证
当$n>N$时，$\dfrac{1}{4n+2}<\epsilon$，因此$\left|\dfrac{3n+1}{2n+1}-\dfrac{3}{2}\right|<\epsilon$，满足数列极限的定义。