设 (x)=xsin x+cos x, 下列命题中正确的是 ()-|||-(A)f(0)是极大值, (dfrac (pi )(2)) 是极小值.-|||-(B)f(0)是极小值, (dfrac (pi )(2)) 是极大值.-|||-(C)f(0)是极大值, (dfrac (pi )(2)) 也是极大值.-|||-(D)f(0)是极小值, (dfrac (pi )(2)) 也是极小值.

考查要点：本题主要考查利用导数判断函数极值的方法，特别是二阶导数测试的应用。

解题核心思路：

1. 求一阶导数，找到临界点（导数为零的点）。
2. 求二阶导数，代入临界点判断符号：
   • 若二阶导数在临界点处大于零，则该点为极小值点；
   • 若二阶导数在临界点处小于零，则该点为极大值点。

破题关键：

• 正确计算一阶导数和二阶导数；
• 代入临界点 $x=0$ 和 $x=\dfrac{\pi}{2}$，分析二阶导数的符号。

步骤1：求一阶导数
函数 $f(x) = x \sin x + \cos x$ 的一阶导数为：
$f'(x) = \sin x + x \cos x - \sin x = x \cos x$
令 $f'(x) = 0$，解得临界点 $x=0$ 和 $x=\dfrac{\pi}{2}$（因 $\cos \dfrac{\pi}{2} = 0$）。

步骤2：求二阶导数
对 $f'(x) = x \cos x$ 求导：
$f''(x) = \cos x - x \sin x$

步骤3：判断临界点性质

• 在 $x=0$ 处：
  $f''(0) = \cos 0 - 0 \cdot \sin 0 = 1 > 0$
  因此，$x=0$ 是极小值点。

• 在 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 处：
  $f''\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} \cdot \sin \dfrac{\pi}{2} = 0 - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2} < 0$
  因此，$x=\dfrac{\pi}{2}$ 是极大值点。