题目
如图所示，一个质量为m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A滑下．设容器质量为m'，半径为R，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上．开始时小球和容器都处于静止状态．当小球沿内壁滑到容器底部的点B时，受到向上的支持力为多大?A R-|||-B
如图所示，一个质量为m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A滑下．设容器质量为m'，半径为R，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上．开始时小球和容器都处于静止状态．当小球沿内壁滑到容器底部的点B时，受到向上的支持力为多大?
题目解答
答案
解析
步骤 1：系统动量守恒
由于系统在水平方向上不受外力作用，因此在水平方向上动量守恒。设小球到达点B时相对于桌面的速度为${v}_{m}$，容器的速度为${v}_{M}$，则有：
$m{v}_{m}-m'{v}_{M}=0$
步骤 2：系统机械能守恒
小球从点A滑到点B的过程中，系统机械能守恒。设小球在点A时的势能为$mgR$，在点B时的动能为$\dfrac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}$，容器的动能为$\dfrac{1}{2}m'{{v}_{M}}^{2}$，则有：
$\dfrac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}+\dfrac{1}{2}m'{{v}_{M}}^{2}=mgR$
步骤 3：求解小球在点B时的速度
联立步骤1和步骤2中的方程，可以求解出小球在点B时的速度${v}_{m}$和容器的速度${v}_{M}$：
${v}_{m}=\sqrt{\dfrac{2m'gR}{m+m'}}$
${v}_{M}=\dfrac{m}{m'}\sqrt{\dfrac{2m'gR}{m+m'}}$
步骤 4：求解小球在点B时的相对速度
以容器为参考系，求小球在点B时相对于容器的速度${v}_{m}'$：
${v}_{m}'={v}_{m}+{v}_{M}=\sqrt{\dfrac{2gR(m+m')}{m'}}$
步骤 5：求解小球在点B时受到的支持力
在容器参考系中，小球做圆周运动，向心力由支持力和重力提供。设小球在点B时受到的支持力为${F}_{N}$，则有：
$m{a}_{n}'=\dfrac{m{{v}_{m}}^{2}}{R}={F}_{N}-mg$
由于容器参考系中的加速度为0，因此容器参考系中的惯性力也为0。所以：
${F}_{N}=\dfrac{m{{v}_{m}}^{2}}{R}+mg=mg(3+\dfrac{2m}{m'})$
由于系统在水平方向上不受外力作用，因此在水平方向上动量守恒。设小球到达点B时相对于桌面的速度为${v}_{m}$，容器的速度为${v}_{M}$，则有：
$m{v}_{m}-m'{v}_{M}=0$
步骤 2：系统机械能守恒
小球从点A滑到点B的过程中，系统机械能守恒。设小球在点A时的势能为$mgR$，在点B时的动能为$\dfrac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}$，容器的动能为$\dfrac{1}{2}m'{{v}_{M}}^{2}$，则有：
$\dfrac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}+\dfrac{1}{2}m'{{v}_{M}}^{2}=mgR$
步骤 3：求解小球在点B时的速度
联立步骤1和步骤2中的方程，可以求解出小球在点B时的速度${v}_{m}$和容器的速度${v}_{M}$：
${v}_{m}=\sqrt{\dfrac{2m'gR}{m+m'}}$
${v}_{M}=\dfrac{m}{m'}\sqrt{\dfrac{2m'gR}{m+m'}}$
步骤 4：求解小球在点B时的相对速度
以容器为参考系，求小球在点B时相对于容器的速度${v}_{m}'$：
${v}_{m}'={v}_{m}+{v}_{M}=\sqrt{\dfrac{2gR(m+m')}{m'}}$
步骤 5：求解小球在点B时受到的支持力
在容器参考系中，小球做圆周运动，向心力由支持力和重力提供。设小球在点B时受到的支持力为${F}_{N}$，则有：
$m{a}_{n}'=\dfrac{m{{v}_{m}}^{2}}{R}={F}_{N}-mg$
由于容器参考系中的加速度为0，因此容器参考系中的惯性力也为0。所以：
${F}_{N}=\dfrac{m{{v}_{m}}^{2}}{R}+mg=mg(3+\dfrac{2m}{m'})$