f(x)=xlnx 则 f^(10)(x)=（）A. -(1)/(x^9)B. (1)/(x^9)C. (8!)/(x^9)D. -(8!)/(x^9)

本题考查函数的高阶导数的求解。解题思路是先求出函数$f(x)=x\ln x$的一阶导数，再通过分析一阶导数的形式，找出求导规律，进而推导出$f^{(10)}(x)$。

步骤一：求$f(x)$的一阶导数$f^\prime(x)$

根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，对于$f(x)=x\ln x$，令$u = x$，$v = \ln x$。

• 对$u = x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得$u^\prime=(x)^\prime = 1$。
• 对$v = \ln x$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$，可得$v^\prime = (\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$。
  将$u^\prime$、$v$、$u$、$v^\prime$代入乘积求导法则可得：
  $f^\prime(x)=(x\ln x)^\prime = 1\times\ln x + x\times\frac{1}{x}=\ln x + 1$

步骤二：求$f(x)$的二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$

对$f^\prime(x)=\ln x + 1$求导，根据加法求导法则$(u+v)^\prime = u^\prime + v^\prime$，分别对$\ln x$和$1$求导。

• 对$\ln x$求导，可得$(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$。
• 对$1$求导，可得$(1)^\prime = 0$。
  所以$f^{\prime\prime}(x)=(\ln x + 1)^\prime = \frac{1}{x}+0=\frac{1}{x}=x^{-1}$

步骤三：求$f(x)$的三阶导数$f^{\prime\prime\prime}(x)$

对$f^{\prime\prime}(x)=x^{-1}$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得：
$f^{\prime\prime\prime}(x)=(x^{-1})^\prime = -1\times x^{-1 - 1}=-x^{-2}$

步骤四：求$f(x)$的四阶导数$f^{(4)}(x)$

对$f^{\prime\prime\prime}(x)=-x^{-2}$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得：
$f^{(4)}(x)=(-x^{-2})^\prime = (-1)\times(-2)\times x^{-2 - 1}=2!x^{-3}$

步骤五：找出求导规律

通过前面的计算可以发现，从二阶导数开始，求导规律为$f^{(n)}(x)=(-1)^{n - 2}(n - 2)!x^{-(n - 1)}$（$n\geq2$）。

步骤六：求$f^{(10)}(x)$

当$n = 10$时，代入上述规律可得：
$f^{(10)}(x)=(-1)^{10 - 2}(10 - 2)!x^{-(10 - 1)}=(-1)^{8}\times8!x^{-9}=\frac{8!}{x^{9}}$