设函数f(x)=(x2+a)ex,若f(x)没有极值点,但曲线y=f(x)有拐点,则a的取值范围是( )。A. [0,1)B. [1,+∞)C. [1,2)D. [2,+∞)

考查要点：本题主要考查函数极值点与拐点的存在条件，涉及导数的计算及二次方程根的判别式应用。

解题思路：

1. 极值点分析：通过求一阶导数$f'(x)$，分析其是否存在变号的零点。若$f'(x)=0$无实根或有重根且不变号，则函数无极值点。
2. 拐点分析：通过求二阶导数$f''(x)$，分析其是否存在变号的零点。若$f''(x)=0$有实根且两侧符号变化，则曲线有拐点。
3. 综合条件：联立两个条件，确定$a$的取值范围。

破题关键：

• 一阶导数的判别式：$D_1 = 4 - 4a \leq 0$，即$a \geq 1$，保证无极值点。
• 二阶导数的判别式：$D_2 = 8 - 4a > 0$，即$a < 2$，保证存在拐点。

1. 分析极值点条件

求一阶导数：
$f'(x) = e^x (x^2 + 2x + a)$
令$f'(x) = 0$，得方程：
$x^2 + 2x + a = 0$
判别式为：
$D_1 = 4 - 4a$

• 当$D_1 < 0$（即$a > 1$）时，方程无实根，$f'(x)$恒正，无极值点。
• 当$D_1 = 0$（即$a = 1$）时，方程有重根$x = -1$，此时$f'(x) = e^x (x+1)^2 \geq 0$，导数在$x=-1$处不变号，仍无极值点。

综上，无极值点的条件是$a \geq 1$。

2. 分析拐点条件

求二阶导数：
$f''(x) = e^x (x^2 + 4x + a + 2)$
令$f''(x) = 0$，得方程：
$x^2 + 4x + (a + 2) = 0$
判别式为：
$D_2 = 16 - 4(a + 2) = 8 - 4a$

• 当$D_2 > 0$（即$a < 2$）时，方程有两个不同实根，二阶导数在根附近变号，存在拐点。
• 当$D_2 = 0$（即$a = 2$）时，方程有重根$x = -2$，此时$f''(x) = e^x (x+2)^2 \geq 0$，不变号，无拐点。

综上，存在拐点的条件是$a < 2$。

3. 综合条件

联立$a \geq 1$和$a < 2$，得$a$的取值范围为：
$1 \leq a < 2$